Konvergenz und Monotonie |
| 12.11.2017, 16:53 | mojili | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Konvergenz und Monotonie Wenn eine Folge einen Grenzwert/Limes hat, aber nicht monoton wachsend oder monoton fallend ist, ist sie dann trotzdem konvergent? Meine Ideen: Konvergenz bedeutet ja Beschränkheit und Monotonie. Ich bin allerdings davon ausgegangen, dass jede Folge, die einen Grenzwert hat, automatisch konvergent ist. Stimmt das? |
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| 12.11.2017, 16:58 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
"Grenzwert haben" und "konvergent sein" sind Synonyme. Aber Monotonie ist KEINE Voraussetzung für diese Konvergenz. D.h. das hier
ist falsch, zumindest das mit der "Monotonie". |
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| 12.11.2017, 17:06 | Shalec | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Beispiel: Konstante Folge . Ist weder steigend noch fallen, hat aber einen Grenzwert. Gibt es eine Form von nicht-Konvergenz, die ebenfalls nicht divergiert? 
Edit: Sry: monotone Steigung beinhaltet die Relation, wird also durch obiges Beispiel erfüllt. |
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| 12.11.2017, 17:07 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@Shalec. Dein Beispiel ist sogar monoton wachsend UND monoton fallend... |
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| 12.11.2017, 17:08 | Shalec | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ist mir direkt nach dem Abschicken auch aufgefallen 
Dann halt mal: . Hat zwei konvergente Teilfolgen, keinen eindeutigen Grenzwert und konvergiert folglich nicht. Weiter divergiert die Folge ebenfalls nicht. So, diese erweitern wir: ist Konvergent (eindeutiger Grenzwert bei 0), jedoch nicht monoton.. Besser? 
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| 12.11.2017, 19:24 | sibelius84 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hi zusammen, klar divergiert (-1)^n. Ganz einfach deshalb, weil sie nicht konvergiert. Jede Folge, die nicht konvergiert, divergiert per definitionem. Es gibt noch den Spezialfall "divergent gegen " bzw. "divergent gegen ". Um die Verwirrung zu vollenden, wird dieser Zusammenhang dann gern auch "uneigentlich konvergent" genannt. Kommt man aber nicht drumrum, denn wenn man eine erweiterte Zahlengerade betrachtet und die gewöhnliche Topologie geeignet auf diese erweitert, so sind diese Folgen tatsächlich konvergent. In den 'ganz normalen' reellen Zahlen, ohne jede Erweiterung, sind sie per definitionem aber divergent. LG sibelius84 |
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