Modulo

13.11.2017, 07:07

Boggie23

Modulo

Hallo,
im Anhang habe die Aufgabe beigefügt.
Zu i)

Es gibt 8 möglichkeiten:
1. 2*0=0
2. 2*1=2
3. 2*2=4
4. 2*3=6
5.2*4=8=0
6. 2*5=10=2
7. 2*6=12=4
8. 2*7=14=6

Nach meiner Rechnung wäre die Inverse von 2 die 4. Wo ist mein Fehler?

13.11.2017, 08:09

Elvis

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Als Produkt muss 1 heraus kommen, nicht 0.

13.11.2017, 08:37

Boggie23

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D.h meine Aufzählung stimmt. Wie würdest du ii machen?

13.11.2017, 11:49

Elvis

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Tipp : 2*x=q+1 gdw q|2x-1
Daran würde ich sehr schnell die Antwort erkennen. Und es wäre dann auch noch ein Beweis, warum 2 modulo 8 nicht invertierbar ist.

13.11.2017, 12:08

Boggie23

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Also wenn ich deinen Tipp für q=8 verwende. Teilt ja eine gerade Zahl 8 eine ungerade. Das geht nicht. Also existiert kein Inverses zu 2.
Wie siehst du das damn allgemein?

13.11.2017, 12:13

Elvis

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Du bist schon auf dem richtigen Weg.
(i) ist damit bewiesen, ganz ohne Rechnung und ganz ohne Probieren.
(ii) ich löse die Gleichung 2x=q+1 ganz stumpf nach x auf. Big Laugh

13.11.2017, 12:32

Boggie23

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Dann wäre die linke Seite gerade: Ich sehe es nicht. Ich bin zu stumpf unglücklich

13.11.2017, 13:04

Elvis

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$\begin{eqnarray*} 2x=q+1\Rightarrow x=\frac {q+1} 2 \end{eqnarray*}$ kann man genau dann machen, wenn $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ ungerade ist. Stumpfer geht nicht Prost

13.11.2017, 13:38

Boggie23

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Aha

Ich bin die ganze Zeit davon ausgegangen, dass es für kein q geht. Deshalb habe ich mich gewundert. Aber jetzt ist es klar LOL Hammer

Kannst du mir vlllt bei noch etwas helfen:

Es geht um den Satz: Wenn Z/pZ nullteilerfrei ist, dann gilt p ist eine Primzahl:

Meine Beweisidee:

Nullteilerfreiheit heist, das gilt für $\begin{eqnarray*} \bar{a}, \bar{b} \neq 0 \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} \bar{a} \cdot \bar{b} \neq \bar{0} \end{eqnarray*}$

Was kann ich dann ableiten? verwirrt

13.11.2017, 14:34

Elvis

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$\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ nicht prim, dann $\begin{eqnarray*} p=ab\equiv 0\;mod p \end{eqnarray*}$ , also Nullteiler $\begin{eqnarray*} a,b<p \end{eqnarray*}$

13.11.2017, 14:45

Boggie23

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Das verstehe ich leider nicht ganz. Kannst du mir das bitte genauer erklären? smile

13.11.2017, 15:25

sibelius84

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Betrachte als Beispiel mal $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ und multipliziere dort $\begin{eqnarray*} \overline{2} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \overline{3} \end{eqnarray*}$ .

Betrachte dann als Beispiel mal $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/15\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ und multipliziere dort $\begin{eqnarray*} \overline{5} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \overline{3} \end{eqnarray*}$ .

Siehst du etwas?

13.11.2017, 15:44

Boggie23

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Ja wenn modulo q keine Primzahl ist, ist es das Produkt immer durch g teilbar. Aber warum gilt das dann ?

13.11.2017, 17:29

sibelius84

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Also, q ist durch irgendeine Zahl echt zwischen 1 und q teilbar: Es existiert ein g aus der Menge {2,3,...,q-2,q-1}, sodass q=gh.
-> h kommt ebenfalls aus {2,3,...,q-2,q-1} (warum?).
-> Nun betrachte $\begin{eqnarray*} \overline{g} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \overline{h} \end{eqnarray*}$ und deren Produkt. Dann müsstest du es eigentlich sehen.

13.11.2017, 17:54

Boggie23

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Wenn q zwischen 1 und q liegt, dann kann doch q nur durch q teilbar sein?

Irgendwas verstehe ich total falsch. Ich verzweifle langsam Gott

13.11.2017, 18:21

Elvis

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Wie kommst du auf die absurde Idee, dass q zwischen 1 und q liegt ? Das sagt niemand, und es ist nicht möglich.

(Zu beweisende) Behauptung: $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/p\mathbb Z \end{eqnarray*}$ nullteilerfrei, dann $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ Primzahl.
Die Aussagenlogik sagt : $\begin{eqnarray*} (A\Rightarrow B)\Leftrightarrow (\lnot B\Rightarrow \lnot A) \end{eqnarray*}$

(Also beweisen wir die) Behauptung : $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ keine Primzahl, dann $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/p\mathbb Z \end{eqnarray*}$ nicht nullteilerfrei (und dann sind wir der Logik entsprechend am Ziel unserer Wünsche)

Beweis: Sei $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ keine Primzahl, dann gibt es Zahlen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 1<a<p \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 1<b<p \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p=ab \end{eqnarray*}$ .
Modulo $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ heißt das : es gibt Restklassen $\begin{eqnarray*} \overline a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \overline b \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \overline a\ne \overline 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \overline b\ne \overline 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \overline 0=\overline p=\overline {ab}=\overline a\cdot \overline b \end{eqnarray*}$ . Also sind $\begin{eqnarray*} \overline a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \overline b \end{eqnarray*}$ Nullteiler.
quod erat demonstrantum

13.11.2017, 19:31

sibelius84

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Entschuldige, ich meinte natürlich p. Eure Notation ist aber auch verwirrend. Mit p meint man in diesem Zusammenhang normalerweise immer eine Primzahl. Dann heißt es

Z/nZ nullteilerfrei <=> n ist eine Primzahl.

Natürlich ist die Aussage
Z/pZ nullteilerfrei <=> p ist eine Primzahl
völlig dieselbe, man könnte auch x oder a oder beta nehmen, aber die Assoziationen, die da losfunken, sind andere...

Zum Weiteren siehe Elvis' oberen Post, den ich zum Glück noch rechtzeitig entdecke Augenzwinkern

13.11.2017, 19:57

Elvis

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Da hast du recht, p ist "immer" eine Primzahl und n ist "immer" eine natürliche Zahl und x ist "immer" eine reelle Zahl, das ist die macht der Gewohnheit, und es ist eine große Hilfe beim studieren von Büchern, wenn die "immer"-Notation verwendet wird ... außer wenn es zwischendurch gerade mal anders definiert wird. Big Laugh

13.11.2017, 21:00

Boggie23

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Aso ok

Vielen Dank euch. Jetzt habe ich es verstanden smile

16.11.2017, 07:52

Boggie23

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Zitat:

Original von Elvis
Tipp : 2*x=q+1 gdw q|2x-1
Daran würde ich sehr schnell die Antwort erkennen. Und es wäre dann auch noch ein Beweis, warum 2 modulo 8 nicht invertierbar ist.

Hallo,
nochmal ganz kurz. Wie bist du auf die Gleichung 2*x=q+1 gekommen.
Es muss doch gelten: $\begin{eqnarray*} \bar{2} \cdot = \bar{1} \end{eqnarray*}$

16.11.2017, 07:57

Boggie23

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Ich meine
Es muss doch gelten: $\begin{eqnarray*} \bar{2} \cdot x = \bar{1} \end{eqnarray*}$

Mit x ist die gesuchte Inverse.

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