Cantor-Menge überabzählbar

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cmmeng Auf diesen Beitrag antworten »
Cantor-Menge überabzählbar
Guten Morgen zusammen,

ich habe auch schon bewiesen, dass die Cantor-Menge C abgeschlossen ist und jeder HP von C in C liegt. Jetzt muss ich zeigen, dass die Cantor-Menge C überabzählbar ist. Ich nehme an, dass es eine surjektive Menge g: N->C gibt. Und schon gewusst: Die Obermengen A_n bestehen aus jeweils abgeschlossenen Teilintervallen der Länge .

Ich dachte, da A_n die gleiche Mächtigkeit als die Potenzmenge (und die Potenzmenge ist überabzählbar) hat, dann eine surjektive Abbildung von N->C nicht gelten kann, weil N abzählbar ist. Somit ist C überabzählbar.

Sehr kurzer Beweis dachte ich. Aber ist er falsch?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Dir dürfte vielleicht bekannt sein, dass man alle Zahlen gemäß mit darstellen kann? Tatsächlich ist diese Abbildung sogar eine Bijektion . Damit ist die Mächtigkeit von gleich der von , und letztere ist dir doch bekannt, oder?
cmmeng Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo HAL 9000,

ich danke dir für die Auskunft und nein ich habe das nicht gewusst. Ich bin mir nicht sicher, ob ich das benutzten kann, weil die Anleitung steht, dass ich muss die Annahmen benutzen muss. Die Annahme ist, dass es eine surjektive Abbildung g: N->C gibt. Dann muss ich diese Annahme unter Betrachtung besagter Teilintervalle und des Intervallschachtelungsprinzips zum Widerspruch führen.
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