Injektive, surjektive und bijektive Funktionen |
| 13.11.2017, 15:01 | Opher19782808 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Injektive, surjektive und bijektive Funktionen Man schreibe [m] für die Menge, deren Elemente die Zahlen 1, . . . , m sind. Wie viele injektive/surjektive/bijektive Abbildungen gibt es von [m] nach [n]? Meine Ideen: Kann man das tatsächlich allgemein beschreiben oder ist eine andere Antwort gesucht? Injektive gibt es für zB [3] und [2]: 10? [2] und [4]: 21? Surj.: [3] und [2]: 8? [2] und [4]: 16? Bijektive Fkt. gibt es 0, falls n ungleich m. Sonst ? Kann man hier tatsächlich allgemein gehaltene Antworten finden? |
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| 13.11.2017, 15:15 | sibelius84 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hi Opher, ja, man kann allgemein gehaltene Antworten finden. Dies ist eine Aufgabe, die danach verlangt, dass du sie in mehrere Teilstücke portionierst und diese dann einzeln abarbeitest. Dass es für m ungleich n keine bijektiven Abbildungen von [m] nach [n] gibt, ist richtig. Das liegt aber daran, dass es entweder keine surjektiven, oder keine injektiven Abbildungen gibt. Woran könnte das liegen? (Tipp: Betrachte die Fälle m<n und m>n.) Damit sind mindestens einige deiner genannten Beispiel-Anzahlen falsch. Sobald dir das klar ist, könntest du daran gehen, in den Fällen, wo die jeweilige Anzahl von Abbildungen >0 ist, die konkrete Anzahl zu bestimmen. Am besten erst sehr einfache, und dann einfache Beispiele, so wie du es versucht hast. Etwa (m,n) wählen als (2,3), (3,4), (2,4) bzw. (3,2), (4,3), (4,2), dies elementar durchüberlegen - und von da aus dann den Brückenschlag zum allgemeinen Fall schaffen. LG sibelius84 |
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| 13.11.2017, 16:46 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Zur eigentlichen Anzahlberechnung in den (m,n)-Konstellationen, wo es überhaupt solche Abbildungen gibt, sollte man sich an grundlegende kombinatorische Anzahlformeln erinnern, zumindest bei den injektiven und bijektiven Funktionen. Die komplizierteste Angelegenheit hier ist die Berechnung der Anzahl der surjektiven Abbildungen, da benötigt man zusätzlich auch noch die Siebformel. Und auch wenn es nicht gefragt wird hier, so benötigt man doch als Hilfsbetrachtung die Anzahl aller Abbildungen von [m] nach [n]. |
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| 13.11.2017, 20:53 | Opher19782808 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Mein Problem bei den injektiven ist, ob Funktionen, die nichts abbilden zulässig sind bzw. in die Zählung eingehen. Ansonsten wären es 9. Jede Zahl kann auf eine der 2 Ziehzahlen abgebildet werden=6. Und bei 2 der Defmenge. gibt es 3 Varianten auf die zwei Zahlen abzubilden? |
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| 13.11.2017, 21:09 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Sowas gibt es nicht: jedem muss ein Funktionswert zugeordnet werden, sonst ist es keine Funktion . 
Oder meinst du den Fall m=0 ? 
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| 14.11.2017, 11:15 | Opher19782808 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
D. h. dass zB [3] -> [2] gar keine injektive Funktion hat? Und es gibt keine Funktion [0] -> [m] ? Solche Extremfälle werfen bei mir meistens die Fragen auf.. 
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| 14.11.2017, 12:38 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Richtig.
Doch: Genau eine, die "leere". Anders sieht es bei im Fall m>0 aus: Da gibt es tatsächlich keine Funktion. |
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