Folgen auf Konvergenz untersuchen und beweisen

13.11.2017, 15:25	Snexx_Math	Auf diesen Beitrag antworten »
Folgen auf Konvergenz untersuchen und beweisen Folgende Aufgabe: Untersuchen Sie die zwei Folgen: $\begin{eqnarray} \frac{((n^{3}-5n)^{4}-n^{12})}{2n^{12}} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} n\geq 1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \frac{2^{k}}{k\cdot k!+2^{k}} \end{eqnarray}$ auf Konvergenz. Bestimmen Sie gegebenenfalls die Grenzwerte. Ich frage mich was muss ich machen um zu "untersuchen". Habe die erste Folge schon konkret ausgerechnet und bin auf den Grenzwert 0 gekommen. Bei der zweiten Folge weiß ich ehrlich gesagt nicht wie ich diese berechne. Edit: Also wie untersuche ich auf Konvergenz und wie ermittle ich diese konkret ? LG Snexx_Math
13.11.2017, 15:29	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi Snexx, Grenzwert 0 stimmt und "Rechnen" klingt auch nach der richtigen Begründung. Für die zweite Folge benötigst du eine Aussage wie $\begin{eqnarray} k!\geq 2^k \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} k\geq 4 \end{eqnarray}$ . Entweder sie ist aus der Vorlesung bekannt, dann kannst du sie einfach benutzen. Oder sie ist das nicht, dann solltest du sie per Induktion beweisen (ist einfach) und daraus dann per Abschätzung die entsprechende Schlussfolgerung für deine Folge ziehen. Bist du mit Abschätzungen schon ein wenig vertraut? LG sibelius84
13.11.2017, 15:34	Snexx_Math	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die schnelle Antwort. Also Rechnen "reicht" um die Folge auf Konvergenz zu untersuchen ? Dann werde ich mich mal dransetzen. $\begin{eqnarray} k!\geq 2^k \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} k\geq 4 \end{eqnarray}$ . Ich meine sowas hatten wir nur mit n statt k aber ist ja nicht so wichtig. Edit: Allerdings ist für die zweite Folge $\begin{eqnarray} k\in\mathbb N \end{eqnarray}$ LG Snexx_Math
13.11.2017, 15:43	Snexx_Math	Auf diesen Beitrag antworten »
Und was Abschätzungen angeht : Habe Abschätzungen schon ein paar Mal bei Induktion angewendet.
13.11.2017, 16:18	Snexx_Math	Auf diesen Beitrag antworten »
Erster Rechenvorschlag Habe die Folge: $\begin{eqnarray} \frac{2^{k}}{k\cdot k!+2^{k}} \end{eqnarray}$ sowohl im Zähler als auch Nenner mit : $\begin{eqnarray} \frac{1}{2^{k}} und \frac{1}{k!} \end{eqnarray}$ multipliziert und dann noch : $\begin{eqnarray} \frac{k}{2^{k}\cdot k!} \end{eqnarray}$ gekürzt zu Edit: $\begin{eqnarray} \frac{1}{2^{k}\cdot (k-1)!} \end{eqnarray}$ So dass Folgendes rauskommt: $\begin{eqnarray} \frac{\frac{1}{k!}}{\frac{1}{2^{k}\cdot (k-1)!}\cdot\frac{1}{2^{k}} +1} \end{eqnarray}$ Also: $\begin{eqnarray} \lim_{k \to \infty} \frac{\frac{1}{k!}}{\frac{1}{2^{k}\cdot (k-1)!}\cdot\frac{1}{2^{k}}+1} \end{eqnarray}$ läuft gegen: $\begin{eqnarray} \frac{0}{0\cdot0+1} =\frac{0}{1}=0 \end{eqnarray}$
13.11.2017, 17:26	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo snexx, n statt k ist in diesem Zusammenhang tatsächlich unwichtig. Die Forderung "k>=4" auch, denn k soll ja sogar gegen Unendlich laufen und da kann man schon ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass k mindestens 4 ist - auch wenn da steht: k €\|N. Dein "Kürzfeuerwerk" für die zweite Folge finde ich so interessant wie merkwürdig. Erinnert mich ein wenig daran, als ich als Junge von 12 oder 13 Jahren mal meiner Mutter die Haare schneiden sollte, um den Friseur zu sparen - und nachher war viel zu viel ab (hey, noch besser, hab' ich ihr doch damit direkt zwei Friseurbesuche erspart ). Also - bei deinen "massiven Kürzungen" hast du dich ebenfalls ziemlich verhauen, die sind aber auch übertrieben, denn wenn mich nicht alles täuscht, hättest du dann Zähler und Nenner gegen Null und müsstest eigentlich de l'Hospital anwenden, was man aber bei momentanem Semesterstatus vermutlich noch nicht darf. Wenn du - etwas vorsichtiger - nur durch 2^k kürzt und dann die in der Vorlesung bewiesene Abschätzung "Fakultät >= Exponential" anwendest, sollte es recht einfach gehen.
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14.11.2017, 15:07	Snexx_Math	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Ausrechnen des Grenzwertes hat super geklappt. Allerdings hab ich jetzt erfahren, dass wir die Konvergenz erst "zeigen" müssen. Dies soll durch die Def. : $\begin{eqnarray} \forall \epsilon > 0 \exists N \in \mathbb N \forall n\geq N : \| a_n - a \| < \epsilon \end{eqnarray}$ geschehen. Wie macht man das denn ? LG Snexx_Math

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