Eigenwertzerlegung

02.09.2004, 14:35

Heli

Eigenwertzerlegung

Hallo Mathefreaks

kann mir jemand ein bsp geben, bzw. einen link zu einem schön erklärten Beispiel, wie die Eigenwertzerlegung gemacht wird. Bzw. was ist ein Eigenwert eigentlich, etc?
Ich sitz grad vor einem Paper zu Dimensionsreduktion (PCA) in KDD, und kann mit den Begriffen relativ wenig anfangen.

Es heisst da: Berechne die Kovarianzmatrix- geht ja noch,
dann: Eigenwerte und Eigenvektoren dieser - und ab da bin ich ausgestiegen.

Bitte, bitte, ist sehr wichtig!!!
:rolleyes:

02.09.2004, 14:47

mathemaduenn

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Heli,
Eigenwert ist eine Zahl für die gilt.
$\begin{eqnarray*} Ax=\lambda x \end{eqnarray*}$
und die x(ungleich 0) für die das gilt sind die Eigenvektoren.
Man rechnet erst die Eigenwerte aus.
$\begin{eqnarray*} Ax=\lambda x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Ax-\lambda x=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (A-\lambda E) x=0 \end{eqnarray*}$
Dieses Gleichungssystem hat genau dann von 0 verschiedene Lösungen wenn gilt:
$\begin{eqnarray*} \mbox{det}(A-\lambda E) =0 \end{eqnarray*}$
Was dabei herauskommt heist auch das charakteristische Polynom.
Dann kann man die dabei gewonnen Lösungen einsetzen und die zugehörigen Eigenvektoren bestimmen indem man das GS
$\begin{eqnarray*} (A-\lambda E) x=0 \end{eqnarray*}$ löst.
Alles klar?
gruß
mathemaduenn

02.09.2004, 14:52

heli

Auf diesen Beitrag antworten »

O.K. so weit
Ja, erst mal danke.
Was würde das konkret für eine Matrix

M=( 48 22 )
( 22 48 )

bedeuten?

Was ist in dem Beispiel X, etc.?

Vielen, vielen Dank fürs antworten- genau diese Def. hatte ich vorher eben leider ja nicht verstanden :-(

02.09.2004, 15:00

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

A ist die Matrix, lambda ist der Eigenwert und x ist der dem Eigenwert zugehörige Eigenvektor. Wenn man sich

$\begin{eqnarray*} Ax = \lambda*x \end{eqnarray*}$

anschaut sollte eigentlich aus der Definition von Matrizenmultiplikation klar sein was x ist.

Ich rechne mal die Eigenwerte der Einheitsmatrix im R² aus!
Wie gesagt

$\begin{eqnarray*} (A - \lambda*E)x= 0 \end{eqnarray*}$

also

$\begin{eqnarray*} (\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix} - \lambda*E)*x = 0 \end{eqnarray*}$

<=>

$\begin{eqnarray*} (\begin{pmatrix} 1 - \lambda & 0 \\ 0 & 1 - \lambda \\ \end{pmatrix})*x = 0 \end{eqnarray*}$

Um an die Eigenwerte zu kommen benötige ich jetzt die Determinante der Matrix

$\begin{eqnarray*} Det = (1 - \lambda)*(1-\lambda) \end{eqnarray*}$

Die Nullstellen dieses Polynoms liefern die Eigenwerte, was sofort auffällt ist das 1 die einzige Nullstelle ist. Daraus folgt das die Einheitsmatrix im R² nur einen Eigenwert hat, nämlich 1. Mit Hilfe jenes Eigenwertes kann man dann den Eigenvektor bestimmen in dem man das Gleichungssystem Ax = 0 lößt.

Versuche nun die Eigenvektoren/Eigenwerte Deiner Matrix zu berechnen!

02.09.2004, 16:10

heli

Auf diesen Beitrag antworten »

hatte vorher fehler
Hallo Mazze

danke für die weiteren Hinweise.
Ich hatte vorher eine Fehler in meiner Matrix, für die ich die Eigenwerte und Eigenvektoren berechnen wollte.

Meine Matrix sollte heissen:

A= $\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 48 & 42 \\ 42 & 48 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich hab jetzt, wie Du mir erklärt hattest, die Eigenwerte ausgerechnet:
90 und 6.
Wie gehts jetzt weiter?

Ax = 0 ergibt da doch keinen Sinn, wenn ich den Eigenvektor in Abhängigkeit vom Eigenwert berechnen soll, oder?

Ich denke, man muß dann das jeweilige lamda einsetzen in
(A- $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ * E) * x = 0

da komm ich jetzt wieder nicht weiter...
wie lauten dann die beiden Gleichungen?

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} -42 & 42 \\ 42 & -42 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$ * x = 0
????

Kann mir da jmd weiterhelfen?
Danke Heli

02.09.2004, 16:19

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Ich denke, man muß dann das jeweilige lamda einsetzen in

Genau das meinte ich mit Ax = 0 da exakt diese Form vorliegt. Wie man nun dieses Gleichungssystem lößt hängt ganz von Deinen Vorlieben ab. Der Gaußsche Algorithmus wäre aber die Standartmethode. Deine Eigenwerte sind richtig!

Du weißt schon das

$\begin{eqnarray*} (\begin{pmatrix} 48-\lambda & 42 \\ 42 & 48-\lambda \end{pmatrix} ) *x = 0 \end{eqnarray*}$

das

$\begin{eqnarray*} (48-\lambda)*x_1 + 42*x_2 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 42*x_1 + (48-\lambda)*x_2 = 0 \end{eqnarray*}$

bedeutet?

$\begin{eqnarray*} x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

02.09.2004, 16:37

heli

Auf diesen Beitrag antworten »

ja genau, aber wie weiter?
Hallo Mazze,

genau, so weit bin ich, aber wie gehts dann weiter?
Danke fürs überprüfen meiner Eigenwerte!

für $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ = 90
erhalte ich dann die Gleichungen:

-42 x1 + 42 x2 = 0
42 x1 - 42 x2 = 0

heisst das dann, dass x1 und x2 gleich sind, also z.B. 1 ?

und für $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ = 6

42 x1 + 42 x2 = 0
42 x1 + 42 x2 = 0

heisst das dann, dass x1 und x2 z.B. 1, -1 sind?

Kann man die wählen, wie man will?
smile

)

02.09.2004, 16:45

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Es folgt folgende menge an Lösungsvektoren

$\begin{eqnarray*} \lambda = 90 : \{ x \in R^2 \| x_1 \in R , x_2 = -x_1 \} \end{eqnarray*}$

Im Allgemeinen hat eine matrix unendlich viele Eigenvektoren. Diese Vektoren bilden den sogenannten Eigenraum der matrix.

Für die zweite Gleichung folgt die Lösungsmenge

$\begin{eqnarray*} \lambda = 6 : \{ x \in R^2 \| x_1 \in R , x_2 = x_1 \} \end{eqnarray*}$

Jeder Vektor der die oben genannten Eigenschaften erfüllt bildet eine Lösung des Systems, 1,-1 wäre ein solcher für lamba = 90! Normal musst Du aber die Lösungsmengen angeben!

02.09.2004, 17:10

heli

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke!!!!
Danke Mazze- warst mir eine grosse Hilfe!!!

Langsam beginn ich die Thematik zu verstehen- wohlgemerkt, beginne!
Echt super erklärt von Dir!!!

smile

echt top!!!
:]

Neue Frage »

Antworten »

Eigenwertzerlegung

Verwandte Themen