Beweisen Sie, dass die Menge.. ein Körper ist.

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iQMV Auf diesen Beitrag antworten »
Beweisen Sie, dass die Menge.. ein Körper ist.
Meine Frage:
Beweisen Sie, dass die Menge :={(a, b) :a, b? R}=R^2 mit der Addition (a, b) + (c, d) := (a+c, b+d) und der Multiplikation (a, b)·(c, d) := (ac-bd, bc+ad) ein Körper ist Ferner zeigen Sie, dass die Abbildung f : R-->C mit f(a) = (a,0) eininjektiver K ?orperhomomorphismus ist.


Meine Ideen:
Ich muss die Abgeschlossenheit, Kommutativgesetz, Assoziativgesetz, Distributivgesetz, neutrales Element und inverses Element für diesen Körper beweisen.
Assoziativgesetz:1.
Addition: Z. z. ((a,b)+c (c,d))+c (e,f)=(a,b)+c ((c,d)+c (e,f))2.
Multiplikation: Z. z. ((a,b).c (c,d)).c (e,f)=(a,b).c((c,d).c(e,f))

ich verstehe nicht so ganze und weiss es nicht wie ich es machen sollen.
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Beispiel:

Assoziativität der Addition:

Zu zeigen: ((a,b)+(c,d))+(e,f)=(a,b)+((c,d)+(e,f)).

Es gilt





1. "=": Anwendung der Definition auf das "+" innerhalb der Klammer
2. "=": Anwendung der Definition auf das "+" außerhalb der Klammer
3. "=": Anwendung des (bekanntermaßen gültigen) Assoziativgesetzes aus |R
4. "=": Anwendung der Definition auf das äußere "+"
5. "=": Anwendung der Definition auf das innere "+".

Der "Clou" ist 3. Man sagt auch, das Assoziativgesetz der Addition "ererbt sich aus |R".

Bei der Assoziativität der Addition war das jetzt im Prinzip nicht viel mehr als Schreibarbeit. Bei der Multiplikation darfst du ein wenig mehr rechnen.
Den Nachweis aller "...ivgesetze" kannst du nach obigem Prinzip eigentlich führen. Kleine Variante evtl. noch, falls man nicht "flüssig von links nach rechts durchrechnen" kann:
- linke Seite umformen
- rechte Seite umformen
- sich davon überzeugen, dass dasselbe rauskommt.

Die neutralen Elemente musst du 'erraten' und dann beweisen, dass sie es sind. Die inversen Elemente bekommst du mit rechnerischen Ansätzen (wieder: bei der Multiplikation mehr Arbeit).

LG
sibelius84
iQMV Auf diesen Beitrag antworten »

Seien (a,b),(c,d) is element von c beliebig, z. z. (a,b)+(c,d)=(c,d)+(a,b)
Dann setzen wir ein: (a+c,b+d) aber hier ist " + " eben +R und dass die Addition im Körper der reellen Zahlen kommutativ ist wissen wir bereits, also gilt:
(a+c,b+d)=(c+a,d+b)=(c,d)+(a,b) insgesamt also (a,b)+(c,d)=(c,d)+(a,b)


sowas?
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Rock
iQMV Auf diesen Beitrag antworten »

Das neutrale Element zeige ich einfach ich dem ich es mit einem meiner Variablen in einer Menge verknüpfe und zeige, dass sich der Wert nicht ändert (einmal im addieren, einmal im multiplizieren da es sich hierbei um verschiedene neutrale Elemente handelt)
Das Inverse Element könnte ich ja einbauen, indem ich zeige, dass e-a=a' (bzw. a*a'=e) ist, und ich demnach ein a in meiner Gleichung durch (e-a) (bzw. (1/a) bei der multiplikation) ersetzen könnte ohne das sich etwas ändert.

Was ich jedoch nicht ganz verstehe ist, wie ich as Assoziativ- und das Distributivgesetz vorzeigen soll und wie soll ich jetzt das beweise von dem neutralen element und dem Inversen schreibe.
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Frage:
Zitat:
Original von iQMV
Was ich jedoch nicht ganz verstehe ist, ... wie soll ich jetzt das beweise von dem neutralen element und dem Inversen schreibe.


Antwort:
Zitat:
Original von iQMV
Das neutrale Element zeige ich einfach ich dem ich es mit einem meiner Variablen in einer Menge verknüpfe und zeige, dass sich der Wert nicht ändert (einmal im addieren, einmal im multiplizieren da es sich hierbei um verschiedene neutrale Elemente handelt)


Soweit zum Ersten Augenzwinkern Zum Zweiten, das mit den Inversen ist etwas merkwürdig. Ich denke, bei der Addition solltest du das Inverse, das auf (0,0) zurückführt (was ja offensichtlich das Neutrale ist), sehr leicht erraten können. Bei der Multiplikation musst du etwas mehr rechnen: Seien x,y gegeben, dann sind a, b gesucht, sodass



Wenn du die linke Seite entsprechend der gegebenen Multiplikationsvorschrift ausrechnest und auf der rechten Seite noch das "richtige" neutrale Element hinschreibst, gibt das ein Gleichungssystem, das du lösen musst. Es kann sein, dass das ein nichtlineares Gleichungssystem ist, wo du einmal eine Gleichung mit Potenzen 2, 0, -2 bekommst, die du also zu einer biquadratischen Gleichung [4. Grades] umformen und dann mit Substitution lösen kannst.
edit: Sorry nein, habe mich vertan. Gibt einfach ein LGS in den Variablen a,b.

Die Distributivgesetze, sowie das Assoziativgesetz der Multiplikation zeigst du genauso wie das Assoziativ- und das Kommutativgesetz der Addition. Vor allem die Assoziativität der Multiplikation könnte etwas längere Rechnerei bedeuten, da musst du durchhalten und einen langen Atem beim Umformen haben - das ist nicht mit reiner Schreibarbeit getan wie bei der Addition.
 
 
iQMV Auf diesen Beitrag antworten »

sorry aber irgendwie ich komm nicht weiter und verstehe nicht so ganze wie es genau gemacht würde..
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast doch gestern um 20.25 einen mustergültigen Beweis für das Kommutativgesetz der Addition gepostet. Knöpf dir doch vielleicht als nächstes das Distributivgesetz vor, so als Vorschlag. Ich denke, das ist am einfachsten.
-> Ist dir klar, was zu zeigen ist?
-> Kannst du irgendeine Seite der Behauptung irgendwie naheliegend umformen?
iQMV Auf diesen Beitrag antworten »

zz: c (a+b)= a (c+d)?
iQMV Auf diesen Beitrag antworten »

also für Assoziativgesetz:1.
Addition: Z. z. ((a,b)+c (c,d))+c (e,f)=(a,b)+c ((c,d)+c (e,f))2.
Multiplikation: Z. z. ((a,b).c (c,d)).c (e,f)=(a,b).c((c,d).c(e,f))

das hab ich schon gesagt aber ich weiss jetzt nicht genau wie ich es weiter machen soll.
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Das Assoziativgesetz der Addition hatte ich dir weiter oben schon als Beispiel vollständig vorgerechnet.

Bei der Multiplikation müsstest du zB mal anfangen, ((a,b).(c,d)).(e,f) geeignet gemäß der auf dem Blatt angegebenen Formel umzuformen bzw. auszurechnen.
iQMV Auf diesen Beitrag antworten »

(a,b). (c,d).(e,f)
(a. c,d) (b. c,d) (e,f)
(e.a. c,d) (e.b. c,d) (f.a.c,d) (f.b.c,d)
sowas ?
iQMV Auf diesen Beitrag antworten »







wäre das auch für neutrales Element richtig sein?
iQMV Auf diesen Beitrag antworten »

geht das für inverse Element :
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von iQMV
(a,b). (c,d).(e,f)
(a. c,d) (b. c,d) (e,f)
(e.a. c,d) (e.b. c,d) (f.a.c,d) (f.b.c,d)
sowas ?


Auf dem Blatt steht doch als Definition angegeben:

(a,b).(c,d) = (ac-bd,ad+bc), oder? Du musst mit der Definition vom Blatt arbeiten!

Das mit dem neutralen Element ist nicht richtig, was wäre denn da bei dir überhaupt das neutrale Element?

Das angehängte Bild ist ein Beweis für die Eindeutigkeit des Inversen (in beliebigen Gruppen) und nicht für deren Existenz in einer spezifischen Gruppe, wie hier gefragt.
iQMV Auf diesen Beitrag antworten »

(1,0) aber ich weiss nicht genau wie ich es genau schreiben soll als beweis jetzt
iQMV Auf diesen Beitrag antworten »

wäre so richtig fur das neutrale E:
(a,b).(1,0)=(a.0-b.0)(a.0+1.b)= (a,b)
iQMV Auf diesen Beitrag antworten »

Hab jetzt
zuerst das neutrale Element:

(a, b)•(c, d):= (ac-bd, bc+ad) mit c = 1, d = 0, man erhält

(a,b)•(1,0) = (a•1-b•0, b•1+a•0) = (a,b)


Distributivgesetz:

(a,b) • [ (c,d)+(e,f) ] = (a,b) • (c+e, d+f) =

(a(c+e)-b(d+f); b(c+e)+a(d+f) ) = (ac+ae-bd-bf, bc+be+ad+af)

(a,b) • (c,d) + (a,b) • (e,f) = (ac-bd, bc+ad) + (ae-bf, be+af) =

(ac-bd+ae-bf, bc+ad+be+af)

aber meine Frage jetzt wie kann ich das inverse machen?
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Das Neutrale und das Distributivgesetz sehen gut aus! smile

Zum Inversen - sagen wir mal, du hast ein (a,b) gegeben (entweder a oder b ungleich Null), das du invertieren möchtest. Du suchst das inverse Element (x,y). Ansatz also

(a,b)·(x,y) = (1,0).

Wenn du nun auf der linken Seite wieder die Definition vom Blatt anwendest, kannst du die Komponenten vergleichen. Die linke Komponente von dem, was rauskommt, muss gleich Eins, und die rechte Komponente muss gleich Null sein.

Schreibe in den einzelnen Summanden am besten immer x und y nach hinten und mache um den Rest davor eine Klammer (und natürlich ordnen: erst x, dann y), dann erkennst du, dass du ein lineares 2x2-Gleichungssystem in den Variablen x und y vor dir hast. Das kannst du nun "normal" lösen. Am besten wird es wohl sein, du setzt zunächst voraus, dass a und b BEIDE ungleich Null sind, damit du weiterrechnen kannst. Das, was du nachher als Inverses raushast, kannst du dann einfach nochmal mit (a,b) multiplizieren und dann siehst du, dass es auch dann das Inverse ist, falls nur EINES von beiden ungleich Null ist.
(Tipp: im Ergebnis kommen Brüche und Quadrate vor.)
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