Gruppen

13.11.2017, 22:23

Manuel72367

Gruppen

Hallo,
es geht darum welche Mengen Gruppen sind:

1.) $\begin{eqnarray*} K^{nxn} \end{eqnarray*}$ mit +

2. Z/5Z mit +

3. $\begin{eqnarray*} K^{nxn} \end{eqnarray*}$ mit *

4. $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ mit +

1.

Es ist eine Gruppe, denn es gibt ein neutrales Element die nxn Nullmatrix.
Jede Matrix A besitzt eine Inverse Matrix -A(also jeder Zeileneintrag wird mit "-" versehen).
A+B ist wieder eine quadratische Matrix also abgeschlossen.
Die Matrixaddition ist assoziativ.

2.
keine Gruppe, denn es gibt nicht zu jeden Element ein Inverses.

3.
Keine Gruppe, da nicht jede Matrix eine Inverse hat.

4.
Keine Gruppe, da es zu jedem n aus N kein Inverses gibt.

Stimmt das?

14.11.2017, 08:21

Elvis

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2. Gruppe, weil (Z/5Z,+,*) ein Körper ist.

14.11.2017, 09:16

Manuel72367

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Wenn 2. Eine gruppe ist:
1. Das neutrale Element ist die Restklasse 0
2. Wenk ich 2 Repräsentaten aus der Restklasse nehme ist ihr Summe in ihr.
3. Assoziativität gilt
4. Wie kann das mit dem Inversen argumentieren?

14.11.2017, 10:33

Mulder

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Zitat:

Original von Manuel72367
4. Wie kann das mit dem Inversen argumentieren?

Zur Not schreib sie doch einfach eben hin. Oder erstell gleich eine vollständige Verknüpfungstabelle zum Eigenverständnis.

Zum Beispiel ist 1+4=5=0 in Z/5Z, folglich ist 4 das additiv Inverse der 1 und umgekehrt.

14.11.2017, 11:24

Elvis

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Allgemein ist das inverse Element für $\begin{eqnarray*} \overline a \in (Z/mZ,+) \end{eqnarray*}$ die Klasse $\begin{eqnarray*} \overline {m-a} \end{eqnarray*}$ , denn

$\begin{eqnarray*} \overline {m-a}+\overline a=(\overline m-\overline a)+\overline a=\overline m+(\overline{-a}+\overline a) =\overline m=\overline 0 \end{eqnarray*}$

14.11.2017, 11:50

Manuel72367

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Danke

Heißt es dass die Gruppe abelsch ist?

14.11.2017, 11:55

Elvis

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Als Körper Z/5Z sowieso, aber auch jeder Ring Z/mZ ist abelsch. Habe ich hier aber gar nicht benutzt, habe nur das Assoziativgesetz gebraucht.

14.11.2017, 14:13

Manuel72367

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Wie zeige ich, dass sie abelsch ist?

14.11.2017, 18:12

Elvis

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Die Kommutativität vererbt sich von den ganzen Zahlen auf die Restklassen:

$\begin{eqnarray*} \overline a+\overline b=\overline {a+b} =\overline {b+a}=\overline b+\overline a \end{eqnarray*}$

Da hättest du auch selbst drauf kommen können. Bei der Assoziativität geht das doch ganz genau so.

14.11.2017, 19:40

Manuel72367

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Ja stimmt. unglücklich

Dann habe ich es verstanden.
Die Gruppe mit den quadratischen Matrizen ist auch abelsch, denn die Inverse von A ist einfach (-1)A. Kann ich das so sagen?

14.11.2017, 19:52

Elvis

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Die additive Gruppe der quadratischen Matrizen ist abelsch, denn die Inverse von A ist -A.

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