Konvergenznachweis mit Wurzelkriterium

14.11.2017, 10:59

xxJan

Konvergenznachweis mit Wurzelkriterium

Hallo zusammen,

folgendes Problem:

Untersuchen sie die gegebene Reihe mithilfe des Wurzelkriteriums auf Konvergenz.

$\begin{eqnarray*} &&\sum\limits_{k=1}^{\infty }\left(\frac{2k^{2}+k-1}{k^{2}-k+1}\right)^{3k}\\=&&\sqrt[k]{\left(\frac{2k^{2}+k-1}{k^{2}-k+1}\right)^{3k}}\\=&&\left(\frac{2k^{2}+k-1}{k^{2}-k+1}\right)^{3} \end{eqnarray*}$

Leider weiß ich nicht wie ich diesen Ausdruck angehen soll.

Ich hoffe es kann mir einer dabei helfen.
LG

14.11.2017, 11:10

klarsoweit

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RE: Konvergenznachweis mit Wurzelkriterium

Zitat:

Original von xxJan
$\begin{eqnarray*} =&&\sqrt[k]{\left(\frac{2k^{2}+k-1}{k^{2}-k+1}\right)^{3k}}\\=&&\left(\frac{2k^{2}+k-1}{k^{2}-k+1}\right)^{3} \end{eqnarray*}$

Das Gleichheitszeichen in der ersten Zeile gehört da nicht hin.

Von dem Term in der 2. Zeile bildest du den Grenzwert für k gegen unendlich. Beachte auch, daß du rein formal von dem Summandenterm den Betrag nehmen müßtest.

14.11.2017, 11:58

xxJan

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RE: Konvergenznachweis mit Wurzelkriterium
$\begin{eqnarray*} =&&\left(\lim_{k \to \infty } \frac{2k^{2}+k-1}{k^{2}-k+1} \right)^{3}\\=&&\left(\frac{\lim_{k \to \infty}2k^{2}+k-1}{\lim_{k \to \infty} k^{2}-k+1} \right)^{3}\\=&&\left(\frac{\lim_{k\to\infty}k^{2}(2+\frac{1}{k}-\frac{1}{k^{2}})}{\lim_{k\to\infty}k^{2}(1-\frac{1}{k}+\frac{1}{k^{2}})}\right)^{3}\\=&&\left(\frac{\lim_{k \to \infty}2+\lim_{k \to \infty}\frac{1}{k}-\lim_{k \to \infty}\frac{1}{k^{2}}}{\lim_{k \to \infty}1-\lim_{k \to \infty}\frac{1}{k}+\lim_{k \to \infty}\frac{1}{k^{2}}} \right)\\=&&\left(\frac{2+0-0}{1+0-0}\right)^{3}\\=&&\frac{2^{3}}{1^{3}}\\=&&8 \end{eqnarray*}$

Ist das bis dahin richtig? oder habe ich was gemacht was nicht legitim ist?

14.11.2017, 12:43

klarsoweit

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RE: Konvergenznachweis mit Wurzelkriterium
Nun ja, den Grenzwert auf Zähler und Nenner verteilen geht nur, wenn jeweils der Grenzwert existiert. Formal korrekt geht es so:

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty} \left(\frac{2k^2+k-1}{k^2-k+1} \right)^3 = \lim_{k \to \infty} \left(\frac{k^2(2+\frac{1}{k}-\frac{1}{k^2})}{k^2(1-\frac{1}{k}+\frac{1}{k^2})}\right)^3<br /> =\left(\frac{\lim_{k \to \infty}2 + \lim_{k \to \infty}\frac{1}{k} - \lim_{k \to \infty}\frac{1}{k^2}}{\lim_{k \to \infty}1 - \lim_{k \to \infty}\frac{1}{k} + \lim_{k \to \infty}\frac{1}{k^2}} \right)^3 = 2^3 = 8 \end{eqnarray*}$

Jetzt mußt du nur noch das Ergebnis richtig interpretieren. smile