Eigenschaft einer Matrix P = I-vv*

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TwoStone Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenschaft einer Matrix P = I-vv*
Hallo Mathematiker,

Gegeben ist eine Matrix P und ein Vektor v mit Eukl.Norm(v) = 1.
dieser Stern * soll komplex konjugiert bedeuten, I die Einheitsmatrix sein.

Es ist P = I - vv*
Also offenbar Hermitesch, aber nicht unitär.

Ich habe gezeigt dass Pv = 0, also v aus Kern(P) ist, denn:
Pv = v - vv*v = v - v = 0 (weil die Norm v*v = 1)

Nun soll ich zeigen, dass für alle w aus Bild(P) gilt, dass <w,v>=0

Ich tue mich damit irgendwie schwer.
Ich dachte erst ist mache es so: <w,v> = <P*Pw,v>, aber P ist ja nicht unitär, also stimmt das nicht. Kann mir jemand weiterhelfen oder einen Tipp geben, ich stehe auf dem Schlauch ... smile ?
g4lois Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo!

Meine Idee: Es gilt für alle .

Betrachte nun und nutze die Eigenschaften des Skalarprodukt aus.
 
 
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