Folgen und Reihen, Fakultät

14.11.2017, 13:33

Kathreena

Folgen und Reihen, Fakultät

Monotonie und Beschränktheit ist gesucht:
1.) $\begin{eqnarray*} x_n = \frac{21^n}{(2n-1)!}, \forall n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

2.) $\begin{eqnarray*} u_1 = 2, u_{n+1} = \sqrt{u_n}, \forall n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

_________________________________________________________
Idee:
1.) Also zuerst hab ich das Problem, das ich garnich verstehe, wie man das ohne einen Taschenrechner lösen soll.

Ich fange erst mit der Beschränktheit an. Natürliche Zahlen sind immer positiv.

$\begin{eqnarray*} 21^n \geq (2n-1)!, \forall n \leq 6 \end{eqnarray*}$ (Taschenrechner)
$\begin{eqnarray*} 21^n < (2n-1)!, \forall n > 6 \end{eqnarray*}$

Also wenn n größer 6 ist, ist der Teiler immer größer als der Zähler, $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ nähert sich dann 0 an

Vermutung Beschränktheit:
$\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ ist nach unten beschränkt und nach oben beschränkt.

$\begin{eqnarray*} 0 \leq x_n \leq 2.14862, \forall n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

Beweis:
Soll ich das mit $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} x_n \end{eqnarray*}$ beweisen ?
Aber dann würde ja 1 rauskommen.

Für die untere und obere Beschränktheit könnt ich zeigen, das $\begin{eqnarray*} x_1 <... < x_5 < x_6 > x_7 > x_8 > x_9 >...>x_n \geq 0 \end{eqnarray*}$

Monotonie:
Für streng monoton fallend: $\begin{eqnarray*} \forall n : a_{n+1} \leq a_{n} \end{eqnarray*}$ trifft nicht zu

Für streng monoton steigend: $\begin{eqnarray*} \forall n : a_{n+1} \geq a_{n} \end{eqnarray*}$ trifft nicht zu

14.11.2017, 14:42

mYthos

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RE: Folgen und Reihen, Fakultät

Zitat:

Original von Kathreena
...
Also wenn n größer 6 ist, ist der Teiler immer größer als der Zähler, $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ nähert sich dann 0 an
...

Was meinst du hier mit Teiler? Solltest du damit den Nenner gemeint haben?
-----
Dass hier Rechenarbeit zu leisten ist, damit hast du Recht.
Ich sehe daher keinen Grund, hier nicht Technologie (ein CAS) einzusetzen.
Auch ein Graph sagt mehr als tausend Worte:

[attach]45691[/attach]

Danach wird man natürlich versuchen, diese Dinge so weit wie möglich auch rechnerisch zu lösen.
Der Vergleich Zähler - Nenner bringt hier nichts, dabei wird nur das Verhalten von n in der Nähe von x(n) = 1 untersucht.

Wie du siehst: Deine obere Schranke stimmt NICHT!
Bei der strengen Monotonie gilt das Gleichheitszeichen NICHT!

Hinsichtlich Grenzwert: Dieser ist 0 (NICHT 1), die Fakultät im Nenner geht schneller über alle Grenzen als die Potenz im Zähler.

mY+

14.11.2017, 15:05

klarsoweit

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RE: Folgen und Reihen, Fakultät
Man könnte natürlich auch den Umstand nutzen, daß die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{21^n}{(2n-1)!} \end{eqnarray*}$ konvergiert.

Damit ist klar, daß die Summanden beschränkt sind. smile

14.11.2017, 15:30

Kathreena

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1.)Ah ok, dann ist die obere Grenze bei $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 \leq x_n \leq 77,175, \forall n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

Dann muss ich nurnoch herausfinden wie ich das korrekt hinschreibe.

2.)
$\begin{eqnarray*} u_1 = 2, u_{n+1} = \sqrt{u_n}, \forall n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u_1 = 2 , u_2 = 2^{1/2}, u_3 = 2^{1/4}, u_4 = 2^{1/8}, u_5 = 2^{1/16}, .... \end{eqnarray*}$

Hier ist leicht herauszulesen, das die obere Beschränkung bei 2 liegt.
Die Hochzahl wird irgendwann, wenn n gegen unendlich geht 0 sein, und $\begin{eqnarray*} 2^0 = 1 \end{eqnarray*}$

Vermutung Beschränktheit:

$\begin{eqnarray*} 1 \leq u_n \leq 2, \forall n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

Monotonie:
Folge ist streng monoton fallend
$\begin{eqnarray*} \forall n : u_{n+1} < u_{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2 > 2^{1/2} > 2^{1/4} > 2^{1/8} > 2^{1/16} > ...... > 2^{1/256} > ... > u_n > u_{n+1} \geq 1 \end{eqnarray*}$

14.11.2017, 15:43

klarsoweit

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Zitat:

Original von Kathreena
Dann muss ich nurnoch herausfinden wie ich das korrekt hinschreibe.

Eine relativ simple Alternative habe ich gepostet.

zu Aufgabe 2: die Vermutungen sind zwar richtig, aber auch hier braucht es einen hieb- und stichfesten Beweis. Durchaus gut kann man dazu auch die vollständige Induktion anwenden. smile

14.11.2017, 16:00

mYthos

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(2)

Für die Berechnung des Grenzwertes, der Monotonie und der Schranken ist es nicht schlecht, aus der Rekursionsbeziehung das Bildungsgesetz (den Funktionsterm für die Folge) zu berechnen.

Wie aus den ersten Gliedern ersichtlich, lautet es $\begin{eqnarray*} u_n = 2^{\frac 1 {2^{n-1}}} \end{eqnarray*}$

Damit ist die Monotonie, Beschränktheit und der Grenzwert leicht nachzuweisen.
---------------

Hinweis (strenge) Monotonie:

$\begin{eqnarray*} 2^{\frac 1 {2^{n-1}}} > 2^{\frac 1 {2^n}} \end{eqnarray*}$

Vergleiche nun die Exponenten, bei den Kehrwerten kehrt sich das Relationszeichen um ...
Bei den anderen Sachen geht's analog!

mY+

14.11.2017, 16:18

HAL 9000

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Nochmal zu 1), falls nicht nur Konvergenz, sondern tatsächlich die Monotoniebereiche gefunden und begründet werden sollen. Das Monotonieverhalten dieser strikt positiven Folge kann man durch Betrachtung der Quotienten aufeinander folgender Folgenglieder ergründen:

$\begin{align*} \frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{21^{n+1}\cdot (2n-1)!}{21^n\cdot (2n+1)!} = \frac{21}{(2n+1)2n} \end{align*}$

Dementsprechend ist monotones Wachstum $\begin{align*} \frac{x_{n+1}}{x_n}>1 \end{align*}$ äquivalent zu $\begin{align*} 2n(2n+1) < 21 \end{align*}$ , umgeformt $\begin{align*} (4n+1)^2 < 85 \end{align*}$ und damit $\begin{align*} n < \frac{\sqrt{85}-1}{4}\approx 2.05 \end{align*}$ , also $\begin{align*} n\leq 2 \end{align*}$ .
Entsprechend ist monotones Fallen $\begin{align*} \frac{x_{n+1}}{x_n}<1 \end{align*}$ äquivalent zu $\begin{align*} n > \frac{\sqrt{85}-1}{4} \end{align*}$ , also $\begin{align*} n\geq 3 \end{align*}$ .

Damit ist auch per Rechnung nachgewiesen, was mYthos anhand des Graphen erläutert hat: Monotones Wachstum bis hin zum Maximum $\begin{align*} x_3 \end{align*}$ , danach monoton fallend.

14.11.2017, 18:15

Kathreena

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Danke für die vielen Tipps.

Ich bin nicht sicher ob ich die Monotoniebereiche bestimmen muss, weil wir das in der Vorlesung nie gemacht haben, aber das muss ja nichts heißen.
Ich schreib mal wieweit ich gekommen bin.

$\begin{eqnarray*} u_1 = 2, u_{n+1} = \sqrt{u_n}, \forall n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

2.) Beweis nach unten und oben Beschränkt:
zu zeigen: $\begin{eqnarray*} 1 \leq u_n \end{eqnarray*}$ (Untere Schranke)

$\begin{eqnarray*} 1 \leq 2^{\frac{1}{2^{n-1}}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln(1) \leq 2 \cdot 2^{-n} \cdot ln(2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 \leq 2 \cdot 2^{-n} \cdot ln(2) \end{eqnarray*}$

Das ist korrekt, weil alles größer als 0 ist, was auf der rechten Seite steht.

zu zeigen: $\begin{eqnarray*} 2 \geq u_n, \forall n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ (nach oben Beschränkt)

$\begin{eqnarray*} 2 \geq 2^{\frac{1}{2^{n-1}}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln(2) \geq 2 \cdot 2^{-n} \cdot ln(2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1 \geq 2 \cdot 2^{-n} \end{eqnarray*}$

Auch korrekt.

Monotonie:

zu zeigen: $\begin{eqnarray*} u_n > u_{n+1}, \forall n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ (Streng monoton fallend)

$\begin{eqnarray*} u_n > u_n^{1/2} \end{eqnarray*}$

korrekt., dann wäre die 2.) Erledigt.

1.)Beweis nach unten Beschränkt:

z.z. $\begin{eqnarray*} 0 \leq x_n ,\forall n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 \leq \frac{21^n}{(2n-1)!} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 \leq 21^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 \leq 21 \end{eqnarray*}$ Damit habe ich die untere Schranke bewiesen hoffe ich.

Weiter komm ich bei 1 noch nicht, muss da erstmal noch bissl Recherchieren, damit ich eure Tipps dazu verstehe smile

14.11.2017, 23:25

mYthos

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So weit in Ordnung.

Zitat:

Original von mYthos
(2)

Hinweis (strenge) Monotonie:

$\begin{eqnarray*} 2^{\frac 1 {2^{n-1}}} > 2^{\frac 1 {2^n}} \end{eqnarray*}$

Vergleiche nun die Exponenten, bei den Kehrwerten kehrt sich das Relationszeichen um ...
...

Musst nicht unbedingt logarithmieren, aber es geht natürlich auch.
Man kann bei gleicher Basis (2) zu den Exponenten übergehen:

$\begin{eqnarray*} \frac 1 {2^{n-1}} > \frac 1 {2^n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2^{n-1} < 2^n \end{eqnarray*}$ (Bei der Kehrwertbildung kehrt sich das Relationszeichen um)

$\begin{eqnarray*} n-1 < n \end{eqnarray*}$

mY+

17.11.2017, 13:53

Kathreena

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1.) Also hier kann ich tatsächlich nur so wie HAL 9000 geschrieben hat vorgehen,

Also zuerst die Monotonie überprüfen, und dadurch ergibt sich dann auch gleichzeitig die "obere Schranke". und dann weiß ich auch von wo bis wo, ich eine streng monoton steigende Folge habe.

Es ging auch mit, $\begin{eqnarray*} x_{n+1} - x_n > 0 \end{eqnarray*}$ .

So hät ichs dann ohne CAS rausgefunden.

17.11.2017, 13:58

mYthos

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