Beschränktheit einer Folge beschränkter Funktionen |
| 14.11.2017, 15:14 | Halep | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Beschränktheit einer Folge beschränkter Funktionen Ich habe eine Frage: Und zwar habe ich auf einer kompakten Menge K eine Funktionenfolge (f_n) stetiger Funktionen, die überall auf K gegen eine beschränkte Funktion f konvergiert. Nun frage ich mich, ob die Folge der Supremumsnormen der (f_n) also die Folge (sup(f_n)) ebenfalls beschränkt ist. Meine Ideen: Ich habe ein ziemliches Brett vor dem Kopf, und mir fällt weder Beweis noch Gegenbeispiel ein... |
||||||
| 14.11.2017, 15:22 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Beschränktheit einer Folge beschränkter Funktionen Die Aussage ist falsch. Denk dir eine Dreiecksfunktion, die immer schmaler und höher in wird. |
||||||
| 14.11.2017, 15:35 | Halep | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Schonmal danke 
Ich habe im Internet den Satz von der gleichmäßigen Beschränktheit gefunden. K ist vollständig und die f_n alle stetig und punktweise beschränkt. Also gibt es demnach zumindest eine offene Kugel in K auf der es eine solche globale Schranke C für die f_n gibt, oder? |
||||||
| 14.11.2017, 15:38 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Was meinst du mit "punktweise beschränkt"? |
||||||
| 14.11.2017, 15:41 | Halep | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Sie konvergieren ja punktweise gegen f, das beschränkt ist, also ist die Folge (f_n)(x) beschränkt weil konvergent |
||||||
| 14.11.2017, 15:46 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich fühle mich jetzt wie du im ersten Post. Bin unsicher, ob die Aussage stimmt (offenbar schon, wenn man sie behauptet) und wie man sie beweisen könnte. Mit dem Satz von Egorov bekommt man, dass es auf einer großen Menge gleichmäßig konvergiert und damit dort gleichmäßig beschränkt ist. Aber die Menge könne leeres Innere haben. |
||||||
| Anzeige | ||||||
|
|
||||||
| 14.11.2017, 15:51 | Halep | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Aussage ist von mir; ich bin über Umwege dazu gekommen weil sie mir bei einem Beweis helfen würde. Bloß dass du nicht denkst ein Prof hätte die behauptet und sie müsste daher wohl stimmen. |
||||||
| 14.11.2017, 15:57 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wiki Offenbar gilt der Satz. Dann stimmt die Behauptung. Allerdings müsste ich wenigstens eine ganze Weile probieren, bis ich einen Beweis auf die Reihe bekomme. Vermutlich ist die Aussage, die du eigentlich zeigen solltest, leichter zu zeigen, als dieser Satz 
|
||||||
| 14.11.2017, 16:24 | Halep | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke 
Könntest du kurz skizzieren, wie du von der gleichmäßigen Beschränktheit auf U in K offen auf ganz K folgerst? |
||||||
| 14.11.2017, 16:34 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Gar nicht. Dafür war ja mein erstes Gegenbeispiel da. Auf ganz ist die Aussage falsch. Sonst würde man sich auch nicht die Arbeit machen sich extra eine offene Menge zu konstruieren, wo die Aussage gilt
|
||||||
| 14.11.2017, 16:42 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@IfindU Wollte gerade was schreiben, was sich aber mit deinem letzten Post erübrigt hat.
(Sah im Threadverlauf irgendwie so aus, als stündest du nicht mehr zu deinem richtigen ersten Post.) |
||||||
| 14.11.2017, 16:47 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich habe auch gemerkt, dass das etwas irreführend war. Was ich meinte: Der Satz, dass eine offene Menge existiert, auf der die Funktionsfolge gleichmäßig beschränkt ist, ist wahr. Spontan kann ich das aber nicht zeigen.
Mit der "Aussage" meinte ich die ursprüngliche Aufgabe, die man versucht hat zu beweisen, indem man die Hilfsaussage "Punktweise Konvergenz impliziert gleichmäßige Beschränktheit auf einer offenen Menge" zeigt. |
||||||
|
|
Verwandte Themen
| Die Beliebtesten » |
|
| Die Größten » |
|
| Die Neuesten » |
|
