Gerade im Vektorraum

14.11.2017, 22:13

Tim_tim

Gerade im Vektorraum

$\begin{eqnarray*} \vec{x} = \vec{a} + t \cdot \vec{r} \end{eqnarray*}$
für was stehen die einzelnen Summanden bzw Faktoren? Ich habe verstanden, wie man den Vektor und die Gerade einzeichnet, die eben auch durch den Punkt B geht, wobei $\begin{eqnarray*} \vec{r} = \vec{b} - \vec{a} \end{eqnarray*}$ . Wenn man jedoch darüber spricht, wie nennt man die einzelnen Bestandteile?

und wie kann man die Formel herleiten?
ist f(x)=mx+t etwas völlig anderes oder bauen die beiden Formen entfernt aufeinander auf?

-thx

14.11.2017, 22:42

Helferlein

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Mit y=mx+b wird ein Schuh draus, denn ansonsten hast Du nur eine Funktions- aber keine Geradengleichung.

Die Gleichung lässt sich als Punktmenge in der Form $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x\\mx+b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\b \end{pmatrix}+x\begin{pmatrix}1\\m \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ schreiben und schon bist Du in deiner ersten Zeile.

$\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ nennt man Stützvektor, $\begin{eqnarray*} \vec{r} \end{eqnarray*}$ Richtungsvektor und t den Parameter.

14.11.2017, 23:10

Tim_tim

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sind
$\begin{eqnarray*} \vec{x_1} = \begin{bmatrix}0 \\ 1 \end{bmatrix} + t \cdot \begin{bmatrix} 1\\ 2 \end{bmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{x_2} = \begin{bmatrix}1 \\ 3 \end{bmatrix} + t \cdot \begin{bmatrix} 1\\ 2 \end{bmatrix} \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \vec{x_3} = \begin{bmatrix}2 \\ 5 \end{bmatrix} + t \cdot \begin{bmatrix} 1\\ 2 \end{bmatrix} \end{eqnarray*}$

3 unterschiedliche übereinander liegende Geraden oder 1 und die selbe Gerade?

und wie kann ich $\begin{eqnarray*} f(x) = 1 + \frac{1}{2} \cdot x \end{eqnarray*}$ in die Parameterdarstellung umwandeln? bzw für was steht das b?
-thx

15.11.2017, 00:34

Helferlein

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Das sind identische Geraden, nur in einer anderen Darstellung.
Für den zweiten Teil musst Du einfach nur meinem Weg oben folgen.

15.11.2017, 10:00

mYthos

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RE: Gerade im Vektorraum

Zitat:

Original von Tim_tim
$\begin{eqnarray*} \vec{x} = \vec{a} + t \cdot \vec{r} \end{eqnarray*}$
...

Das ist allgemein eine Vektorgleichung. Es muss sich nun nicht immer um $\begin{eqnarray*} \mathbb R_2 \end{eqnarray*}$ handeln.
In $\begin{eqnarray*} \mathbb R_3 \end{eqnarray*}$ hat $\begin{eqnarray*} f(x) = mx + t \end{eqnarray*}$ wenig Sinn.

mY+

16.11.2017, 21:52

Tim_tim

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RE: Gerade im Vektorraum
Wenn der Vektor durch den Nullpunkt geht, wie ist dann die Parametergleichung?
Ist die Parametergleichung dann nur der Vektor?

und was ist die allgemeine Geradengleichung im R3 Raum?
mit was steigt man beim Lernen am besten in den R3 Raum ein? (generell in das Thema R3)

17.11.2017, 02:39

mYthos

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Eine Gerade geht durch den Nullpunkt: Sonderfall von $\begin{eqnarray*} \vec x = \vec a + t \cdot \vec r \text{, dabei ist } \vec a = \vec 0 \text{; somit ist die Gleichung: } \vec x = t \cdot \vec r \end{eqnarray*}$
Diese Vektorgleichung hat den Vorteil, dass sie sowohl in R2, als auch in R3 gilt.

Also lautet die allgemeine Vektorgleichung der Geraden in R3 ebenfalls $\begin{eqnarray*} \vec x = \vec a + t \cdot \vec r \end{eqnarray*}$

Du kannst ziemlich viel von R2 in den R3 übernehmen. Ansonsten kommt in R3 eine dritte Komponente hinzu und neu sind zunächst die Gleichungen von Ebenen und deren Lagebeziehungen.

mY+

17.11.2017, 16:35

Tim_tim

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dh heißt die Fläche einer Ebene kann ich erst im R3 Raum berechnen? oder kann man die Fäche eines Parallelogramms auch im R2 Bereich berechnen? Wie viele Vektoren benötig man hierzu? Kreuzprodukt geht erst im R3 Raum,oder?

17.11.2017, 19:22

mYthos

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Die Fläche einer Ebene? verwirrt

Die Fläche eines Parallelogrammes in R3 ist einfach der Betrag des Kreuzproduktes der beiden aufspannenden Vektoren.
Für ein Parallelogramm in R2 kann man diese Tatsache aber ebenfalls zu Hilfe nehmen, denn dann sind alle dritten Komponenten gleich Null.
Die Fläche wird dann sehr einfach zu

$\begin{eqnarray*} A = |\vec a \times \vec b| = |a_1b_2 - a_2b_1| \end{eqnarray*}$ [Die Determinante der Vektoren (a1; a2) und (b1; b2)]

mY+

23.11.2017, 14:07

mYthos

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@Tim_tim
Was in deinen Threads zu erkennen ist:
Es würde dir nicht schlecht anstehen, würdest du nach erhaltener Hilfe nochmals eine Reaktion zeigen.
Das wäre ein Akt der Höflichkeit, schließlich arbeiten hier nicht Sklaven oder Roboter.
Wir sind auch Menschen ...

mY+

26.11.2017, 14:02

Tim_tim

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Danke für die ausführliche Antworten smile

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