Partielle Differentialgleichung und partielle Integration/Ableitung

15.11.2017, 15:00

PartiellVerwirrt

Partielle Differentialgleichung und partielle Integration/Ableitung

Meine Frage:
Hallo Leute!

ich hänge jetzt seit mehreren Stunden an dieser einen Aufgabe fest, und komme einfach nicht weiter, obwohl ich die Lösung vor mir habe. Ich vermute, irgendwo fehlen mir noch einige Grundkentnisse ohne die ich mir auch die nächsten Aufgaben unglaublich schwer machen werde. Hier die Aufgabenstellung:

Das Schwingen einer Metallsaite lässt sich beschreiben durch

$\begin{eqnarray*} \rho_{0} \delta_{tt} u = k \delta_{xx} u \end{eqnarray*}$

Zeigen Sie, dass die Energie

$\begin{eqnarray*} E = \int_{\mathbb R} \! \rho_{0} \frac{(u_{t})^{2} }{2} + k \frac{(u_{x})^{2} }{2} dx \end{eqnarray*}$

stets erhalten bleibt.

Hinweis: ableiten und partiell integrieren

Meine Ideen:

Nun war mein Ansatz, dass wenn die Energie erhalten bleibt, gelten müsste, dass

$\begin{eqnarray*} \frac{d}{d t} E = 0 \end{eqnarray*}$

Demnach folgt mit der Kettenregel:

$\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb R} \! \rho_{0} u_{tt} u_t + k u_{xt} u_x \, dx = 0 \end{eqnarray*}$

Hier habe ich dann schon die erste mathematische Verständnisfrage: ich habe die Ableitung in das Integral reingezogen, aber wann genau darf das überhaupt tun? Sicherlich gibt es auch Integrale, wo das nicht möglich wäre?

Mit der Anfanfgs DGL kann man nun den ersten Term umformen, und erhält

$\begin{eqnarray*} k \int_{\mathbb R} \! u_{xx} u_t +u_{xt} u_x \, dx = 0 \end{eqnarray*}$

Ab hier hapert es so richtig bei mir. Der Hinweis sagt mir ja ich solle partiell integrieren, und da kommen mir bereits die ersten Fragen. Laut Lösung müsste nach der Integration folgendes Integral da stehen:

$\begin{eqnarray*} k \int_{\mathbb R} \! u_x u_{tx} +u_{xt} u_x \, dx = 0 \end{eqnarray*}$

Das bedeutet doch, dass ich nach x integriert hätte, oder? Warum aber integriere ich die einzelnen Produkte überhaupt nach x?

Angenommen ich hätte diese Gleichung auch, dann wäre normalerweise mein nächster Schritt, die zwei Terme zusammenzufassen, da $\begin{eqnarray*} u_{tx} = u_{xt} \end{eqnarray*}$ (solange die Funktion stetige partielle Ableitungen besitzt, was sie in diesem Fall tut):

$\begin{eqnarray*} 2k \int_{\mathbb R} \! u_x u_{tx} \, dx = 0 \end{eqnarray*}$

Mathematisch würde ich hier nun festhängen, weil ich nicht genau begründen könnte, warum das Ganze nun null sein soll. Gleichzeitig weiß ich jedoch, dass die Wellengleichung eine periodische Funktion ist, für die gelten sollte, dass $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{2\pi} \! f'(x) g(x) \, dx = - \int_{0}^{2\pi} \! f(x) g'(x) \, dx \end{eqnarray*}$ ist. Muss ich mit dieser Beziehung arbeiten, um die Energieerhaltung zu zeigen? Oder hat es mehr damit zu tun, dass der Bereich über $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ definiert ist?

Vielen Dank schon mal für eure Hilfe!

15.11.2017, 16:03

IfindU

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RE: Partielle Differentialgleichung und partielle Integration/Ableitung

Zitat:

Original von PartiellVerwirrt
$\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb R} \! \rho_{0} u_{tt} u_t + k u_{xt} u_x \, dx = 0 \end{eqnarray*}$

Hier habe ich dann schon die erste mathematische Verständnisfrage: ich habe die Ableitung in das Integral reingezogen, aber wann genau darf das überhaupt tun? Sicherlich gibt es auch Integrale, wo das nicht möglich wäre?

Da hast du Recht. Allerdings ist hier alles sehr formal gehalten. Die Energie muss ja nicht einmal endlich sein. Das heisst man braucht einige Regularitäts- und Integrabilitätsbedingungen, damit die Energie wohldefiniert ist und man die Ableitung reinziehen kann. Hinreichend wäre zweimal stetig differenzierbar und "schnell" abfallend gegen unendlich.

Zitat:

Ab hier hapert es so richtig bei mir. Der Hinweis sagt mir ja ich solle partiell integrieren, und da kommen mir bereits die ersten Fragen. Laut Lösung müsste nach der Integration folgendes Integral da stehen:

$\begin{eqnarray*} k \int_{\mathbb R} \! u_x u_{tx} +u_{xt} u_x \, dx = 0 \end{eqnarray*}$

Korrekt wäre $\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb R} \! \rho_{0} u_{tt} u_t + k u_{xt} u_x \, dx = \int_{\mathbb R} \! k u_{xx} u_t + k u_{xt} u_x \, dx = k \int_{\mathbb R} \!- u_x u_{tx} +u_{xt} u_x \, dx \end{eqnarray*}$

Zitat:

Das bedeutet doch, dass ich nach x integriert hätte, oder? Warum aber integriere ich die einzelnen Produkte überhaupt nach x?

Man integriert partiell nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ . Das ist das einzige was man machen kann. $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ ist eine feste Zahl, und man integriert über $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ .

Der Rest sollte sich erübrigen, da nach dem Satz von Schwarz nun klar ist, dass das Integral verschwindet.

22.11.2017, 14:21

PartiellVerwirrt

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RE: Partielle Differentialgleichung und partielle Integration/Ableitung
Hallo IfindU,

entschuldige die späte Antwort, ich kam einfach noch nicht dazu die Aufgabe nochmal zu rechnen. Vielen Dank auf jeden Fall, deine Erklärungen haben mir sehr geholfen.

Ich bin mir bei der letzten Umrechung jedoch immer noch unsicher:

mit partieller Integration erhalte ich $\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb R } \! u_{xx}u_{t} \, dx = u_{x}u_{t} - \int_{\mathbb R } \! u_{x}u_{tx} \, dx \end{eqnarray*}$ , wodurch ich mit dem Satz von Schwartz und wegkürzen nun $\begin{eqnarray*} k \int_{\mathbb R } \! u_{x}u_{t} \, dx = 0 \end{eqnarray*}$ hätte. Der Term taucht bei dir aber gar nicht auf. Habe ich mich da verrechnet, oder gibt es einen Grund, warum er gleich null sein muss?

22.11.2017, 14:56

IfindU

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Das hat mit den "unsichtbaren" Voraussetzungen an die Funktion $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ zu tun. Damit die Integrale wohldefiniert sind, man Ableitung ins Integral ziehen kann usw., muss $\begin{eqnarray*} u(x,t) \to 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\to \pm \infty \end{eqnarray*}$ gelten. Ähnlich dann für die partiellen Ableitungen. Demnach steht da
$\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb R } \! u_{xx}u_{t} \, dx = \Big[ u_{x}u_{t}\Big]_{x=-\infty}^{x=+\infty} - \int_{\mathbb R } \! u_{x}u_{tx} \, dx \end{eqnarray*}$ . Und der Term verschwindet laut Annahmen.

22.11.2017, 15:32

PartiellVerwirrt

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Das leuchtet ein, vielen vielen Dank! Jetzt ergibt die Aufgabe auch um einiges mehr Sinn für mich. Habe sie nochmal gerechnet, und der Teil funktioniert nun prima. Dafür bin ich mir nun am Anfang nicht mehr sicher, wobei mein Ansatz ja eigentlich funktionieren sollte, da die Energie erhalten bleibt.

Ich hatte ja mit der Kettenregel gesagt, dass $\begin{eqnarray*} \frac{\delta}{\delta t } \frac{1}{2} u^2_{t} = u_{t}u_{tt} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{\delta}{\delta t } \frac{1}{2} u^2_{x} = u_{x}u_{xt} \end{eqnarray*}$

Ich hatte hier einfach nur mit u einmal abgeleitet, und dann nachdifferenziert. Müsste ich nicht eher mit dem totalen Differential arbeiten, und noch einen Term dazu addieren (so wie $\begin{eqnarray*} u_{t} = \frac{\delta u }{\delta x} \frac{dx}{dt} + \frac{du}{dt} \end{eqnarray*}$ )?

22.11.2017, 15:40

IfindU

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Könntest du. Aber $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ sind unabhängige Variablen. Damit ist $\begin{eqnarray*} \frac { d x } { dt } = 0 \end{eqnarray*}$ und damit steht da $\begin{eqnarray*} u_t = \frac { du } {dt} \end{eqnarray*}$ da.

22.11.2017, 15:42

PartiellVerwirrt

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Oh, ich habe eben x in Abhängigkeit von t betrachtet. Dann sitzt jetzt wirklich alles klar. Danke für die Unterstützung!

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