Gruppen Ordnung 15 abelsch

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NoahPhantom Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppen Ordnung 15 abelsch
Meine Frage:
Ich möchte zeigen, dass jede Gruppe der Ordnung 15 abelsch sein muss. Dafür hat der Aufgabensteller Zwischenschritte angegeben:

Zuerst soll man das Zentrum Z(G) betrachten und zeigen, dass G abelsch ist, falls das Zentrum die Ordnung 3, 5 oder 15 hat.

Das habe ich schon getan, da mit dem Satz von Lagrange folgt, dass die Faktorgruppe G/Z die Ordnung 1, 3 bzw. 5 haben muss und damit zyklisch ist. Daraus folgt, dass G abelsch ist.

Nun soll man den Fall |Z(G)|=1 betrachten. Mithilfe der Klassengleichung ist zu zeigen, dass es 3 Konjugationsklassen mit jeweils 3 Elementen gibt.

Meine Ideen:
Naja, wenn ich diese 3 Konjugationsklassen mit jeweils 3 Elementen in die Klassengleichung einsetze, dann kommt 5+5+5=15 heraus, es geht also auf.

Ich habe aber keine Ahnung, wie ich zeigen kann, dass das so sein muss, d.h. warum nicht zum Beispiel auch 5 Konjugationsklassen a 5 Elemente möglich wären.

Würde mich freuen, wenn mir hier jemand helfen könnte.

Danke im Voraus.

Viele Grüße,
NoahPhantom
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppen Ordnung 15 abelsch
Zitat:
Original von NoahPhantom
Ich habe aber keine Ahnung, wie ich zeigen kann, dass das so sein muss, d.h. warum nicht zum Beispiel auch 5 Konjugationsklassen a 5 Elemente möglich wären.

Die Konjugationsklassen bilden eine Partition.
NoahPhantom Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppen Ordnung 15 abelsch
Eine Partition von was? Und wie folgt daraus, dass es 3 Konjugationsklassen mit je drei Elementen sind? Allein von der Klassengleichung her, könnte es doch die verschiedensten Kombinationen geben. Wie kommt denn die Voraussetzung |Z(G)| hier ins Spiel?

Sorry, das ist wenig Input, aber was Klassengleichung/Konjugationsklassen/Zentrum angeht bin ich leider noch recht ratlos. Vor allem die Klassengleichung verstehe ich nicht. Die Summe über den Index der Zentralisatoren der Repräsentanten der Konjugationsklassen in der Gruppe - sorry, aber irgendwie kann ich mir da nicht wirklich einen Reim darauf machen, auch wenn ich die Definitionen alle kenne.

Kann jemand helfen?
URL Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppen Ordnung 15 abelsch
Du denkst zu kompliziert. Aus der Klassengleichung folgt und jeder Summand auf der rechten Seite hat den Wert 3 oder 5. Da bleibt nur eine einzige Möglichkeit
NoahPhantom Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppen Ordnung 15 abelsch
Stimmt, ich hatte den Beitrag des Zentrums vergessen.

Ok, das sehe ich ein. Um auf 14 zu kommen, brauchen wir 3 Konjugationsklassen mit 3 und eine mit 5 Elementen.

Daraus soll man nun folgern, dass es mindestens 9 Elemente der Ordnung 5 geben muss, also mind. zwei verschiedene UG der Ordnung 5.

Leider bin ich auch hier ratlos. Wie kann man denn von Konjugationsklassen und ihren Elementen auf die Ordnung eines Elements schließen?
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt drei Konjugationsklassen der Mächtigkeit 3. Was bedeutet das für die dazugehörigen Zentralisatoruntergruppen?
 
 
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