Gewöhnliche Differentialgleichungen

15.11.2017, 19:15

9halbe

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Meine Frage:
Hallo,

könnt ihr einmal schauen, ob ich richtig gerechnet habe?

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} ln(y)+x/y *y' = 0, y(1)=2 \end{eqnarray*}$

DGL vpm Typ exakte DGL

$\begin{eqnarray*} p(x,y)=ln(y), q(x,y)=x/y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p_{y}=1/y , q_{x}=1/y \end{eqnarray*}$

Ableitung sind gleich, also ist die DGL exakt.

$\begin{eqnarray*} U(x,y)= \int \! p \, dx = \int \! ln(y) \, dx =x*ln(y)+c(y) \end{eqnarray*}$

Ableiten nach y und mit q vergleichen:

$\begin{eqnarray*} 1/y+c'(y) =1/y \end{eqnarray*}$

Daraus folgt, dass c = const.

$\begin{eqnarray*} U(x,y)=x*ln(y) \end{eqnarray*}$

Implizite Lösung:
$\begin{eqnarray*} x*ln(y)= c const. \end{eqnarray*}$

Explizite Lösungen:
$\begin{eqnarray*} y(t)=c/x, x \neq 0 \end{eqnarray*}$

Anfangswertbedingung:
$\begin{eqnarray*} 1*ln(2)=c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c=ln(2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y(t)=ln(2)/x , x>0 \end{eqnarray*}$

15.11.2017, 20:35

Mai Tu

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Hallo,

bis

Zitat:

Implizite Lösung:
$\begin{eqnarray*} x*ln(y)= c const. \end{eqnarray*}$

sieht es gut aus.

Das nachfolgende

Zitat:

Explizite Lösungen:
$\begin{eqnarray*} y(t)=c/x, x \neq 0 \end{eqnarray*}$

ist unverständlich. Da vorher alles richtig war, rate ich mal: das wirst du von allein besser hinbekommen.

Die

Zitat:

Anfangswertbedingung:
$\begin{eqnarray*} 1*ln(2)=c \end{eqnarray*}$

stimmt wieder, aber

Zitat:

$\begin{eqnarray*} y(t)=ln(2)/x , x>0 \end{eqnarray*}$

sieht nicht aus wie eine fertige Lösung.

15.11.2017, 20:49

9halbe

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Stimmt, da habe ich etwas vergessen, danke! Also:

explizite Lösung:

$\begin{eqnarray*} y(t)= e^{\frac{c}{x} } \end{eqnarray*}$

Und dann ist

$\begin{eqnarray*} y(t)= 2^{\frac{1}{x} } \end{eqnarray*}$

Mmh...?

15.11.2017, 21:04

Mai Tu

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} y(t)= e^{\frac{c}{x} } \end{eqnarray*}$

ist richtig bis auf das (t).

(Schon vorher in

Zitat:

Explizite Lösungen:
$\begin{eqnarray*} y(t)=c/x, x \neq 0 \end{eqnarray*}$

war das t unpassend.)

Wenn da jetzt statt

Zitat:

$\begin{eqnarray*} y(t)= 2^{\frac{1}{x} } \end{eqnarray*}$

y(x)=... geschrieben wird, siehts gut aus.

15.11.2017, 21:14

9halbe

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Danke!!

15.11.2017, 21:26

HAL 9000

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Alternativ könnte man bei der DGL auch sagen: Mit "Trennung der Variablen" lösbar: Augenzwinkern

$\begin{align*} \frac{y'}{y\ln(y)} &= -\frac{1}{x}<br /> \ln|\ln(y)| &= -\ln|x|+C_1<br /> \ln(y) &= \frac{C}{x}<br /> y &= \exp\left( \frac{C}{x} \right) \end{align*}$

15.11.2017, 21:38

Mai Tu

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Zitat:

von HAL 9000
Alternativ könnte man bei der DGL auch sagen: Mit "Trennung der Variablen" lösbar

Ja, die Erkennung als separable DGL halte ich für wichtig, aber nach Einsicht dieser Erkenntnis dann doch die Gleichung als exakte auffassen. Weil die Exaktheit nach meiner Ansicht etwas weitergehende Konsequenzen haben kann, bzgl. Totalem Differential usw.

Dann habe ich noch eine Frage. Würdest du Folgendem zustimmen?
Um das erhaltene y(x) als Lösung zu verifizieren, indem es zur Probe in $\begin{eqnarray*} ln(y)+x/y *y' = 0 \end{eqnarray*}$ eingesetzt wird, ist es, glaube ich, besser, die Schreibweise $\begin{eqnarray*} y(x)= e^{\frac{ln 2}{x} } \end{eqnarray*}$ anstatt $\begin{eqnarray*} y(t)= 2^{\frac{1}{x} } \end{eqnarray*}$ zu verwenden.

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