Zeigen Sie, dass R ein K-Vektorraum ist.

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MichaelF. Auf diesen Beitrag antworten »
Zeigen Sie, dass R ein K-Vektorraum ist.
Meine Frage:
Hallo, meine Frage ist folgende:

Sei f: K -> R ein injektiver Ringhomomorphismus, wobei K ein Körper ist. Zeigen sie, dass R ein K-Vektorraum ist.
Wie zeige ich hier die Assoziativität und Distributivität der Skalarmultiplikation?

Meine Ideen:
Bis jetzt habe ich versucht, zu zeigen, dass die Vektorraumaxiome erfüllt sind:
Dass (R,+) eine abelsche Gruppe ist, müsste eigentlich klar sein, da die Abbildung f ja ein Ringhomomorphismus ist und somit R ein Ring.
Nun hänge ich aber dabei, zu zeigen dass die Bedingungen für die Skalarmultiplikation auch gelten. Hier habe ich nur gezeigt, dass f(1)=1 ist und somit 1*v=v gilt .
Wie zeige ich dann noch die Assoziativität und Distributivität der Skalarmultiplikation? Oder ist mein Ansatz komplett falsch? unglücklich
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

damit du Aussagen über die Skalarmultiplikation beweisen kannst, musst du zuerst eine Skalarmultiplikation definieren.
MichaelF. Auf diesen Beitrag antworten »

Kann ich dann durch die Definition die Assoziativität und Distributivität voraussetzen oder muss ich erst zeigen, dass wohldefiniert ist?

LG
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Wohldefiniert kann eine Abbildung erst sein, nachdem sie definiert wurde. Ich sehe keine Definition der skalaren Multiplikation. Ich sehe nur einen Körper K, einen Ring R und eine injektiven Ringhomomorphismus f:K->R.
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