Ring zu Körper

16.11.2017, 14:19

Peter5774

Ring zu Körper

Hallo, es geht um folgende Aufgabe:

Ich muss ja beide Richtungen beweisen. Damit ich einen Köper aus einem Ring bekomme, muss ich nachweisen, dass es zu jedem a aus dem Ring ein Inverses gibt.
Die Frage ist, was die Definition soll. Nullteilerfreiheit heißt doch aus a*b=0 folgt a=0 oder b=0?

16.11.2017, 23:40

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Unter $\begin{align*} K^* \end{align*}$ würde ich die Gruppe der Einheiten von $\begin{align*} K \end{align*}$ verstehen. Das scheint hier aber nicht gemeint zu sein, sondern $\begin{align*} K^* = K \setminus \{ 0 \} \end{align*}$ .

Betrachte zu einem $\begin{align*} x \neq 0 \end{align*}$ die Menge

$\begin{align*} V(x) = \left\{ \, xy \, \left| \ 0 \neq y \in K \, \right. \right\} \end{align*}$

Warum hat diese genau $\begin{align*} n-1 \end{align*}$ Elemente?

16.11.2017, 23:42

Peter5774

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ring zu Körper
Kann mir jmd die Definition erklären. Nullteilerfreiheit heißt doch das was ich geschrieben habe?

16.11.2017, 23:44

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ring zu Körper

Zitat:

Original von Peter5774
Nullteilerfreiheit heißt doch aus a*b=0 folgt a=0 oder b=0?

Das ist richtig.

16.11.2017, 23:46

Peter5774

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ring zu Körper
Null ist doch nicht enthalten

16.11.2017, 23:49

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ring zu Körper

Zitat:

Original von Peter5774
Null ist doch nicht enthalten

16.11.2017, 23:51

Peter5774

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ring zu Körper
Die 0 ist ja nach Konstruktion nicht dabei.
Aber warum n-1?

17.11.2017, 00:11

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast einen sehr abgehackten Sprachstil. Bitte beachte, daß es im Deutschen auch Verben gibt.

Du meinst, warum $\begin{align*} V(x) \end{align*}$ genau $\begin{align*} n-1 \end{align*}$ Elemente enthält? Nun, weil die Abbildung

$\begin{align*} \varphi_x: \ K \setminus \{ 0 \} \to K \setminus \{ 0 \} \, , \ y \mapsto xy \end{align*}$

bijektiv ist. Wegen der Nullteilerfreiheit wird tatsächlich nach $\begin{align*} K \setminus \{ 0 \} \end{align*}$ abgebildet. Und die Bijektivität ergibt sich aus der Injektivität. Und diese wiederum ergibt sich ebenso aus der Nullteilerfreiheit. Und das müßtest du zeigen.

17.11.2017, 08:06

Peter5774

Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, dann fange ich mal an smile

Eine kurze Frage hätte ich noch:

Warum wird die Nullteilerfreiheit in der Aufgabe so definiert?:
Aus $\begin{eqnarray*} x,y \in K^* \rightarrow xy \in K^* \end{eqnarray*}$

Also sei diese Menge $\begin{align*} \varphi_x: \ K \setminus \{ 0 \} \to K \setminus \{ 0 \} \, , \ y \mapsto xy \end{align*}$ gegeben:

1. Injektivität:

Seien 2 Elemente $\begin{eqnarray*} a,b \in K^* \end{eqnarray*}$ vorgegeben mit $\begin{eqnarray*} \varphi_x(a)= \varphi_x(b) \end{eqnarray*}$

D.h $\begin{eqnarray*} ay=by \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} y(a-b)=0 \end{eqnarray*}$ Da K nullteilerfrei ist und $\begin{eqnarray*} y\neq 0 \end{eqnarray*}$ folgt a=b. Also ist die Funktion injektiv.

2.Surjektivität:
Eine injektive Funktion einer endlichen Menge in sich selbst ist auch surjektiv, also ist $\begin{eqnarray*} \varphi_x \end{eqnarray*}$ bijektiv.

Das Einselement aus dem Ring hat als Urbild genau ein Element x. Daraus folgt $\begin{eqnarray*} \varphi_x (x)=xy=1, \end{eqnarray*}$ wobei man ausnutzt, dass der Ring kommutativ ist.

Passt das so erstmal? verwirrt

17.11.2017, 14:31

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Peter5774
Also sei diese Menge ... gegeben:

Abbildung, nicht Menge!

Zitat:

Original von Peter5774
1. Injektivität:

Seien 2 Elemente $\begin{eqnarray*} a,b \in K^* \end{eqnarray*}$ vorgegeben mit $\begin{eqnarray*} \varphi_x(a)= \varphi_x(b) \end{eqnarray*}$

D.h $\begin{eqnarray*} ay=by \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} y(a-b)=0 \end{eqnarray*}$ Da K nullteilerfrei ist und $\begin{eqnarray*} y\neq 0 \end{eqnarray*}$ folgt a=b. Also ist die Funktion injektiv.[/mathjax]

Deine Bezeichner sind nicht konsistent. Bei der Injektivität wird $\begin{align*} \varphi_x(a) = \varphi_x(b) \end{align*}$ übersetzt zu $\begin{align*} xa = xb \end{align*}$ .

Zitat:

Original von Peter5774
2.Surjektivität:
Eine injektive Funktion einer endlichen Menge in sich selbst ist auch surjektiv, also ist $\begin{eqnarray*} \varphi_x \end{eqnarray*}$ bijektiv.

Das stimmt.

Zitat:

Original von Peter5774
Das Einselement aus dem Ring hat als Urbild genau ein Element x. Daraus folgt $\begin{eqnarray*} \varphi_x (x)=xy=1, \end{eqnarray*}$ wobei man ausnutzt, dass der Ring kommutativ ist.

Die Bezeichnerwahl x geht nicht, denn x ist schon vergeben als Parameter der Abbildung $\begin{align*} \varphi_x \end{align*}$ .

Zitat:

Original von Peter5774
Warum wird die Nullteilerfreiheit in der Aufgabe so definiert?:
Aus $\begin{eqnarray*} x,y \in K^* \rightarrow xy \in K^* \end{eqnarray*}$

Einmal abgesehen davon, daß mich die Bezeichung $\begin{align*} K^* \end{align*}$ stört und ich lieber $\begin{align*} K \setminus \{ 0 \} \end{align*}$ schreibe, so ist das doch nur die formale Kontraposition der anderen Definition für die Nullteilerfreiheit:

$\begin{align*} \mathfrak{A} \Rightarrow \mathfrak{B} \ \ \ \text{ist gleichbedeutend mit} \ \ \ \neg \mathfrak{B} \Rightarrow \neg \mathfrak{A} \end{align*}$ .

17.11.2017, 16:03

Peter5774

Auf diesen Beitrag antworten »

Also abgeseheb von meinen redunanten Bezeichungen stimmt der Beweis soweit?

Also wenn ich meine Definition von Nullteilerfreheit nehme und die Kontraposition bilde. Habe ich aus a,b ungleich 0 folgt a*b ist ungleich 0. Das ist dann die Defintion aus der Aufgabe

Fehlt mir jetzt dann noch in meinem Beweis die Rückrichtung?

17.11.2017, 16:10

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Peter5774
Also abgeseheb von meinen redunanten Bezeichungen stimmt der Beweis soweit?

Deine Bezeichnungen sind nicht redundant, sondern falsch. Aber vielleicht bist du dir auch nicht so ganz sicher, was redundant bedeutet. Jedenfalls solltest du in deinem Beweis, der im Kern ja richtig ist, die verdorbenen Stellen jetzt erst einmal in Ordnung bringen. Ich weise noch einmal darauf hin, daß $\begin{align*} x \end{align*}$ als Parameter der Abbildung $\begin{align*} \varphi_x \end{align*}$ bereits vergeben ist. Weitere Objekte dürfen daher nicht mit $\begin{align*} x \end{align*}$ bezeichnet werden.

17.11.2017, 16:21

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

@Peter5774 (offtopic)

Apropos Redundanz: Es soll ja Smartphone-Apps geben, die die Rechtschreibung korrigieren. Leute, die sich so oft vertippen wie du, sollten sowas vielleicht besser in Anspruch nehmen. Augenzwinkern

17.11.2017, 16:32

Peter5774

Auf diesen Beitrag antworten »

@HAL: Danke, aber so oft ist es auch nicht. Big Laugh

17.11.2017, 17:08

sibelius84

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von HAL 9000
Apropos Redundanz: Es soll ja Smartphone-Apps geben, die die Rechtschreibung korrigieren. Leute, die sich so oft vertippen wie du, sollten sowas vielleicht besser in Anspruch nehmen. Augenzwinkern

Sowas ist doch der Anfang allen Übels... gerade deshalb, weil durch so etwas Menschen der Auffassung sind es nicht mehr nötig zu haben das selbst zu tun, sind Sprache, Logik und formales Denken auf dem absteigenden Ast. Wenn man mich fragt - die Rettung: Paper, pen, and brain.

17.11.2017, 18:12

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Und wenn jetzt von der großen Politik die Digitalisierung der Schulen - und damit ist nicht die Ausstattung der Sekretariate mit moderner Datenbanksoftware gemeint - gefordert wird, dann bin ich manchmal sprachlos ob so viel Ignoranz bezüglich pädagogischer Konstituenten. Computer, egal in welcher Form, sind nur ein Mittel unter vielen. Sie sind ein modernes Mittel, und sie sind vielfältig einsetzbar. Aber sie sind nicht die Lösung unserer Bildungsprobleme. Manchmal verstärken sie sie sogar. Aber was will man von Leuten halten, die permanent fordern, man müsse mehr in Bildung investieren, und als erste Maßnahme vorschlagen, die Schultoiletten zu sanieren! Daß Schultoiletten sauber und gepflegt sein sollen, wer würde dem widersprechen? Aber was hat das mit Bildung zu tun?

Aber jetzt bin ich doch zu sehr ins Off-Topic abgeglitten. Vom Ring zum Körper, und jetzt die Schultoiletten ...

17.11.2017, 18:28

sibelius84

Auf diesen Beitrag antworten »

Schultoiletten sind jedenfalls nicht kommutativ. Ob du dich zuerst hinein entleerst und dann die Spülung betätigst, oder erst die Spülung betätigst und dich dann entleerst - das Ergebnis dürfte ein anderes sein, zumindest dann, wenn wie an meiner Schule ständig die Fünft- und Sechstklässler die einzige Jungentoilette für 1000 Schüler*innen mit Klopapier verstopfen.

Für den Rest können wir ja einen thread unter "Sonstiges" aufmachen, oder so smile

17.11.2017, 19:19

Peter5774

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich will ja nicht stören. Aber könnt ihr schauen, ob das stimmt was in meinem vorvorletzten Beitrag steht?

17.11.2017, 20:00

sibelius84

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Peter,

entschuldige bitte das Off-Topic. Passiert sooo schnell... Engel

Ich bin in einem Star Trek-Forum aktiv, wo das mittlerweile fast schon Kult ist, dass unsere threads ganz ganz ganz woanders hingelangen, als wo sie angefangen haben. Die Spitze war, als Leonard Nimoy (der in der Originalserie den Mr. Spock gespielt hat) gestorben war: Da ist dann der thread "Ruhe in Frieden, Leonard" bei irgendeinem wissenschaftlichen Thema gelandet, und dafür sprachen wir in einem anderen thread aus dem Subforum "Wissenschaftliches" dann plötzlich über Nimoy und Spock. Ausgleichende Gerechtigkeit, oder? Augenzwinkern

So, jetzt aber wirklich Off-Topic Ende.
Es stimmt soweit, was du da zum Beweis geschrieben hast, abgesehen von der Problematik mit der Bezeichnerwahl, auf die schon Leopold hingewiesen hatte (das sieht wirklich hässlich aus mit phi_x(x) = xy, und so). Was m.E. nicht stimmt, ist der letzte Halbsatz "wobei wir ausnutzen, dass der Ring kommutativ ist". Ok, die Kommutativität brauchst du, um einen Körper im Sinne der üblichen Definition zu bekommen. Es gilt aber auch:
"Jeder endliche, nullteilerfreie Ring mit mindestens zwei Elementen ist ein Schiefkörper."

Ist letztlich nur eine Spitzfindigkeit; ich glaube, du hast da schon die richtigen Ideen.

LG
sibelius84

17.11.2017, 20:17

Peter5774

Auf diesen Beitrag antworten »

Dankeschön smile

Die restlichen Dinge werde ich verbessern. Fehlt mir nicht dann noch die andere Beweisrichtung?

17.11.2017, 20:22

sibelius84

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, tut sie wohl. Schon irgendwelche Ideen dazu? smile

17.11.2017, 20:51

Peter5774

Auf diesen Beitrag antworten »

Für den Körper $\begin{eqnarray*} K^* \end{eqnarray*}$ mit zwei Elementen $\begin{eqnarray*} a, b \in K^* \end{eqnarray*}$ gilt im Fall der Nullteilerfreiheit a*b=0 mit $\begin{eqnarray*} a\neq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b\neq 0 \end{eqnarray*}$
Aus a*b und $\begin{eqnarray*} a\neq 0 \end{eqnarray*}$ folgt
$\begin{eqnarray*} 0=a^{-1} \cdot 0 = a^{-1} \cdot (a \cdot b) =(a^{-1} \cdot a) \cdot b))=1 \cdot b = b \end{eqnarray*}$ also b=0. Geht das so?

Neue Frage »

Antworten »

Ring zu Körper

Verwandte Themen