Rechtwinkliges Dreieck maximaler Flächeninhalt = maximaler Umfang

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ICookie Auf diesen Beitrag antworten »
Rechtwinkliges Dreieck maximaler Flächeninhalt = maximaler Umfang
Meine Frage:
Hallo,

und zwar habe ich folgendes Problem:
ich soll in Teilaufgabe a) den maximalen Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks mit der Seitenlänge c=10cm berechnen.
In Teilaufgabe b) soll nun noch überprüft werden, ob bei max A auch der Umfang maximal ist

Meine Ideen:
Nach Auflösen der Hauptbedingung () und der Nebenbedingung (a²+b²=(10cm)²) kam ich auf einen Wert für und somit auf einen Flächeninhalt von 25cm² nach einsetzen in die Hauptbedingung.

In Teilaufgabe b) habe ich nun die Hauptbedingung () und die Nebenbedingung nach U umgeformt und habe dann für b=15 cm bekommen, was ja bei U=2a+c einen Umfang von 40cm gekommen bin was dann ja nicht der gleiche Umfang wie in a) (24,14cm) ist und somit müsste die Antwort nein lauten.

Hab ich hier irgendwo ein Fehler eingebaut? Weil irgendwas scheint für mich falsch.

Danke schonmal!
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Der Umfang ist auch von abhängig:



Mit Einsetzen der Nebenbedingung und des Wertes für die Hypotenuse bekommt man



Und diese Funktion ist jetzt auf Extrema zu untersuchen.

Diese Aufgabe ist übrigens kein gutes Beispiel für eine Extremwertaufgabe der Analysis. Denn was den Flächeninhalt angeht, läßt sie sich elementargeometrisch lösen. Man errichte dazu über der Hypotenuse den Thaleshalbkreis. Läßt man die Spitze des Dreiecks auf dem Halbkreis wandern, erhält man alle möglichen rechtwinkligen Dreiecke mit der Hypotenuse 10. Den maximalen Flächeninhalt erhält man, wenn die Höhe auf maximal wird. Das ist offenbar in der Mitte des Halbkreises der Fall, mit anderen Worten: wenn das Dreieck gleichschenklig-rechtwinklig ist.
ICookie Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

U(a) abgeleitet müsste ja dann



sein oder?

In Geogebra zeigt es mir eine Nullstelle bei ca x=7 aber ich habe keine Ahnung wie ich rechnerisch hier die Nullstelle bestimmen soll?

Danke schonmal
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ICookie
In Geogebra zeigt es mir eine Nullstelle bei ca x=7


Nun ja, das könnte doch sein.

wird ja 0, wenn die Glieder der Differenz gleich sind. Und ein Bruch wird 1, wenn Zähler und Nenner gleich sind. Und zwei positive Zahlen sind genau dann gleich, wenn ihre Quadrate gleich sind.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Auch b) geht "analysisfrei": Es ist

.

Die rechte Seite - und damit gemäß dieser Gleichung auch die linke - wird maximal, wenn maximal ist.
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