Wie zeige ich dass G/N isomorph zu R* ist?

16.11.2017, 23:29	Mäxlein	Auf diesen Beitrag antworten »
*Wie zeige ich dass G/N isomorph zu R ist? Meine Frage:** Hallo, Ich habe ein Foto angefügt auf dem ich aufgeschrieben habe was G und N sind. Was ich bisher bewiesen habe ist dass G eine untergruppe von GL2(R) ist und das N eine normale Untergruppe von G ist. Jetzt muss ich aber zeigen dass G/N isomorph zu R* ist, was ich absolut nicht hinkriege, obwohl ich mir die passenden theoreme mehrmals angeschaut habe. Die Wahrheit ist ich bin seit heute früh mit diesen Aufgaben beschäftigt, muss sie morgen früh vorrechnen, und bin grad so verzweifelt das ich gar nichts mehr hinkriege. Und wenn mir jemand einfach die Lösung hinschreibt damit ich mit gutem gefùhl schlafen kann und wenn ich morgen fit bin und sie mir anschauen und nachvollziehen kann wär das das beste was mir heute passieren könnte, ansonsten bin ich natürlich auch für jeden Tipp unglaublich dankbar! Meine Ideen: Naja viel Ansatz gabs nicht, ich habe versucht mit dem ersten Isomorphismus Theorem zu arbeiten weil ich mir relativ sicher bin dass ich es benutzen muss, aber ich weiß nicht wie mir die Tatsache dass G/ker(phi) isomorph zu im(phi) ist hier weiterhelfen kann. Ich habe versucht mir selbst zumindest einen homomorphismus von G/N nach R* zu überlegen aber finde keinen der bijektiv sein könnte, ich habe rausgefunden dass ich einen homomorphismus von G nach G/N habe aber irgendwie bringt der mich auch nicht weiter, und G/N ist eine Gruppe aber das ändert irgendwie auch nichts, genau wie die tatsache dass meine linksnebenklassen identisch zu den rechtsnebenklassen sind
17.11.2017, 01:27	zweiundvierzig	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Ansatz mit dem Homomorphiesatz ist gut. Ziel ist es einen Homomorphismus f: G -> R* zu finden, der surjektiv ist und N als Kern hat. Der Homomorphiesatz liefert dir dann einen (eindeutigen) Isomorphismus G/N ~ R* Kannst du dir eine Abbildung f überlegen, sodass f(X) = 1 genau für X in N gilt und f ein Homomorphismus ist?
17.11.2017, 02:03	Zweimalzwei	Auf diesen Beitrag antworten »
was mir einfällt ist eine Abbildung die von der Matrix das a nimmt, das ist bei N ja immer 1, erfüllt also die Voraussetzung, und ist auch ein homomorphismus. Aber geht das, es ist ja keine richtige Abbildung oder? Wenn ja, dann ist N mein Kern, oh und mein Bild ist R*, das heißt es folgt genau das was ich zeigen will, oh wow das wär jetzt echt super!
17.11.2017, 02:09	zweiundvierzig	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, genau so geht es. Ich hoffe, du hast dich davon überzeugt, dass es sehr wohl eine "richtige Abbildung" und insbesondere ein Homomorphismus ist. Edit: Im übrigen folgt die Normalität der Untergruppe N bereits, wenn du zeigst, dass N Kern eines Homomorphismus ist. Die Normalteilereigenschaft müsstest du dann also nicht mehr getrennt nachrechnen. Allgemein sid Normalteiler von Gruppen genau die Kerne von Homomorphismen -- eine wichtige Anwendung des Homomorphiesatzes.

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