Permutation und Transposition

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TCLKPlayer Auf diesen Beitrag antworten »
Permutation und Transposition
Meine Frage:
Guten Abend ,

ich saß letzte Woche an meinem wöchentlichen Zettel meiner lin. Algebra Vorlesung und eine Aufgabe geht mir als nicht auf dem Kopf.

Gegeben war folgende Permutation :


Ich sollte Begründen warum sich die obige Permutation nicht aus einer Komposition von genau 8 Transpositionen darstellen lässt.

Was eine Transposition ist weis ich so einigermaßen.



Meine Ideen:
Mir wurde schnell klar das es was mit geraden und ungerade Zahlen zu tun haben muss.
Ich wollte es eigentlich mit folgendem Wiederspruch begründen :

Angenommen die Permutation von oben liese sich mit 8 Transpositionen darstellen also so :
Dann wäre es nicht möglich sie mit 7 darzustellen.
Dann stelle ich die Permutation mit 7 Transpositionen dar (klappt auch).
Zack da ist der Wiederspruch.

Nun schon beim Nachdenken stoße ich auf Ungereimtheiten z.B ist dadurch ja nicht gezeigt das es durch andere 8 Transpositionen nicht doch geht.
Oder ganz grundlegend gefragt wenn eine Permutantion duch n Transpositionen darstellbar ist, warum dann nicht durch n+1 ?

Ich bin im 2 Semester Informatik und habe das Logik und das Analysis
Modul abgeschlossen. Soviel zu meinem Wissensstand.

Wäre für eine Erklärung sehr dankbar smile
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Permutation ist entweder gerade oder ungerade, d.h. sie lässt sich entweder durch eine gerade Anzahl Transpositonen darstellen oder durch eine ungerade Anzahl Transpositonen. Man kann diesen Satz beweisen, indem man den Gruppenhomomorphismus sgn von S_n nach {+1,-1} betrachtet. Also ist dein Ansatz richtig und wird als Lösung für die Aufgabe akzeptiert.
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