Spektrum. Hilbertraum, Spektraltheorie

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funkanahilfe Auf diesen Beitrag antworten »
Spektrum. Hilbertraum, Spektraltheorie
Meine Frage:
Hallo, ich stehe seit Ewigkeiten auf dem Schlauch bei diesem Satz(siehe Anhang). Mir ist nicht klar, wie das Spektrum des Operators mit dem dualen Operator zusammenhängt. Und wie mir das mit dem adjungierten Operator weiterhelfen soll.

Meine Ideen:
Was bedeutet das mit dem Fall mit Banach? wieso nehme ich beim Hilbertfall das Inverse und dann das Adjungierte? Ich dachte, es existiert kein Inverses, weil ich das Spektrum von T so definiert habe.
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RE: Spektrum. Hilbertraum, Spektraltheorie
ist nicht im Spektrum von T genau dann wenn ein Isomorphismus ist. Das gilt genau dann, wenn ein Isomorphismus ist...
Ganz analog im Hilbertfall
funkanahilfe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Spektrum. Hilbertraum, Spektraltheorie
Das was in der Antwort geschrieben wurde ist doch Äquivalent dazu, dass : lamda ist im Spektrum von T genau dann wenn lamda - T KEIN Isomorphismus ist

Oder?
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RE: Spektrum. Hilbertraum, Spektraltheorie
Ja das ist äquivalent.
funkanahilfe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Spektrum. Hilbertraum, Spektraltheorie
ich habe es über das Skalarprodukt(Hilbertraum), gezeigt, dass es injektiv ist.

wie zeige ich das mit der Surjektivität?

Reicht es aus wenn ich das mit Hilbert zeige?

Wie zeige ich es, wenn wir uns im Banachraum befinden, ich vesrtehe nicht, was ich statt sklararprodukt zeigen bzw stehn soll.
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RE: Spektrum. Hilbertraum, Spektraltheorie
Über die äquivalente Formulierung zeigst du doch direkt , was wiederum nichts anderes heißt als
 
 
funkanahilfe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Spektrum. Hilbertraum, Spektraltheorie
ich dachte ich muss einen Isomorphismus zeigen?

Ich bin etwas verwirrt, ich dachte ich muss für Hilbert das auch zeigen?!

Ich stehe grad voll aufm Schlauch, hab ich was zu kompliziert gemacht? verwirrt
Kannst du mir bitte genauer schreiben wie du es machen würdest? Gott
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RE: Spektrum. Hilbertraum, Spektraltheorie
Erst mal ist nur die Gleichheit von zwei Mengen zu zeigen: oder gleichbedeutend oder gleichbedeutend . Und dann wie gehabt


ein Isomorphismus (Definition Spektrum)
ein Isomorphismus (Hinweis auf die Aufgabe)
ein Isomorphismus (Eigenschaften des dualen Operators Lesen1 )
funkanahilfe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Spektrum. Hilbertraum, Spektraltheorie
Vielen Dank.

Ich dachte ich muss die Isomorphie zeigen, also den Hinweis?

Mit dem Hilbertfall bekomme ich die Injektivität hin, aber nicht die Surjektivität.
Mir fällt es schwer analog es für T´zu schreiben.
Kannst du mir da vllt weiterhelfen?
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RE: Spektrum. Hilbertraum, Spektraltheorie
Den Hinweis hat man doch allem Anschein nach in einer anderen Aufgabe schon gezeigt.

Warum bestehst du immerzu darauf, Isomophie zu zeigen, wenn es nicht nötig ist. Der Weg geht doch ganz analog wie für den dualen Operator im Banachfall


ein Isomorphismus (Definition Spektrum)
existiert
existiert
Jetzt den dafür gegebenen Hinweis benutzen und
folgern.
funkanahilfe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Spektrum. Hilbertraum, Spektraltheorie
Vielen Dank. Ja hatte da einen Wurm drin. Forum Kloppe
Nochmal eine Verständnisfrage.
Für T* gelten ja dieselben Rechenregeln oder? Also schreibe ich statt T´dann T* ?
Wieso gilt für T ist bijektiv, dass T* bejektiv ist?
Damit war ja die Umformung möglich: (T*)^-1 = (T^-1)*
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RE: Spektrum. Hilbertraum, Spektraltheorie
Du musst bei den Rechenregeln aufpassen. Schau dir mal und an.
Wenn T bijektiv ist, dann ist stetig (warum?), also existiert und man rechnet leicht nach, dass
funkanahilfe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Spektrum. Hilbertraum, Spektraltheorie
Stetig wegen einem Korollar des Satzes der offenen Abbildung.

In der 1. Zeile: Wieso macht es einen Unterschied? alpha ist doch ein Skalar ?
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RE: Spektrum. Hilbertraum, Spektraltheorie
Ein Skalar kann durchaus eine komplexe Zahl sein.
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