Beschränktheit einer Folge

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manuel459 Auf diesen Beitrag antworten »
Beschränktheit einer Folge
Hey Leute,

ich will zeigen, dass die Folge beschränkt ist. (Sie hat laut Zeichnung ja den Grenzwert 2).

Ich habe das mithilfe von Partialsummen gelöst, wollte aber fragen ob das nicht einfacher auch geht. Durch Induktion bzw. Abschätzen habe ich das bereits versucht, komme aber zu keinem Ergebnis.

Bin über jeden Hinweis dankbar, LG
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Manuel,

hier könnte man etwas aus der Diskreten Mathematik verwenden, was sich - analog zur dir sicher bekannten "Partiellen Integration" bei Integralen - "Partielle Summation" nennt. Oder man könnte es irgendwie mit der Ableitung versuchen, nur das hatten wir ja letztens schon, dass die Vorlesung das momentan noch nicht hergibt, richtig? smile

Ich würde vielleicht Folgendes tun:

1.) Beweise, dass k <= (1,5)^k für alle k € |N ab einem geeigneten k_0 (zB per Induktion).

2.) Schätze damit und mit Hilfe der geometrischen Summenformel die Summe ab.

Um Partialsummen wird man wohl nicht drumherumkommen - schließlich handelt es sich hier um eine Folge von Partialsummen Augenzwinkern

LG
sibelius84

edit - PS: Ich habe gesehen, dass du den Summenindex k durch i ersetzt hast. Warum? Es war vorher richtig und ist jetzt wieder richtig, sprich: ist völlig egal, ob da i oder k steht Augenzwinkern
manuel459 Auf diesen Beitrag antworten »

Hey Sibelius,

ja da liegst du in der Tat richtig!

Vielen Dank, dann war ich wohl doch auf dem richtigen Weg smile Bleibt mir nur noch die Frage, wie kommst du gerade auf 1,5?

LG
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

k <= 2^k würde nicht reichen, denn dann hätte man die Folge nur mit einer unendlichen Summe von Einsen, also mit Unendlich nach oben abgeschätzt.

k <= 1^k = 1 gilt nicht.

Also müsen wir k <= a^k mit einem a, das echt zwischen 1 und 2 liegt, schreiben. Und da bietet sich 1,5 an. Augenzwinkern Du kannst aber auch zB 9/8 oder 15/8 nehmen, das klappt genauso.

---

Übrigens:
Mit dem "Ableitungstrick" könnte man sogar den Grenzwert bestimmen:



wobei man nicht alle Schritte unter allen Bedingungen immer so machen darf, sondern vieles auch über Konvergenz etc. begründen musst.
edit: das war natürlich Quatsch, weil wir hier eine endliche Summe haben und damit alles ziemlich unproblematisch ist.
Falls du im ersten Semester bist, wirst du diese Zusammenhänge mit der Zeit kennenlernen. So könnte man rechnerisch überprüfen, ob da tatsächlich 2 rauskommt. Wenn man die Ableitung vermeiden will, könnte man es auch mit dem Cauchyprodukt machen, indem man die Summe von 0 bis n über (1/2)^i mit sich selber multipliziert.
manuel459 Auf diesen Beitrag antworten »

ich verstehe, genau k<=2^k hatte ich falsch gemacht Hammer

Vielen Dank nochmal für die schnelle und präzise Hilfe!

LG
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Du könntest z.B. per Induktion direkt die Summenformel nachweisen.
 
 
manuel459 Auf diesen Beitrag antworten »

Achja stimmt! Der kleine Haken ist leider, dass ich schwer begründen könnte, woher ich diese "Vermutung" habe, wenn nicht irgendwo gelesen!

Danke und LG smile
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von manuel459
Der kleine Haken ist leider, dass ich schwer begründen könnte, woher ich diese "Vermutung" habe

Seit wann muss man Vermutungen nicht nur beweisen, sondern auch noch "begründen" (was auch immer man darunter versteht) ? Big Laugh


Man kann die Formel natürlich auch herleiten, etwa über



und dann geometrische Summenformel usw.
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Beide Wege - mathematisch: Chapeau! smile Nur didaktisch ist es möglicherweise ein Problem: Erstens lernt man mehr, wenn man Vermutungen selber aufstellt und sie dann beweist, als wenn man anderer vorgefertigte Vermutungen beweist. (Das geht selbstverständlich auch an die Adresse vieler Uni-Dozenten.) Zum Zweiten gibt's ja auch einen Uni-Betrieb mit Übungszetteln und -leitern, und wir wissen alle denke ich sehr genau, dass diese ziemlich merkwürdig sein können. Meine Übungsleiter während meines Studiums waren zwar total ok, aber später bin ich selbst Übungsleiter geworden und weiß daher nur zu gut, wovon ich spreche. Außerdem gibt es einen (nicht exakt, aber grob) festgelegten "Erkenntnishorizont gemäß Studienverlauf" und von Teilnehmer*innen an Erstsemester-Veranstaltungen wäre das eigene Finden und Aufstellen einer solchen Vermutung meiner Meinung nach etwas viel verlangt, genau wie die richtige Idee zum Vertauschen der Summationsindices im letzten Schritt des zweiten Beispiels.
Das erste Beispiel könnte man abgabe-/übungsleitertechnisch noch so retten, dass man die ersten 5-6 Folgenglieder ausrechnet und in der Form 2-(1+2)/2^1 usw. aufschreibt, und danach dann die "gefundene" Vermutung aufschreibt, um sie mit Induktion zu beweisen. Man 'simuliert' sozusagen die Motivation (ich denke, das war mit "Begründung" gemeint) für die Vermutung. Mathematik lebt von Motivationen, oder? Es gäbe keine Differentialgleichungen, wenn sie nicht durch Biologie, Ökonomie und vor allem natürlich: Physik motiviert wären; es gäbe keine Galoistheorie, wenn sie nicht dadurch motiviert wäre herauszufinden, ob man Gleichungen 3., 4., 5. Grades denn nun durch Radikale auflösen kann, oder nicht; etc pp.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Na dann schwafle mal weiter - meine Vorschläge sind ja nur Vorschläge, wenn sie den gehobenen Ansprüchen der Didaktik nicht entsprechen, dann eben nicht. smile

EDIT: Achso, war ja gar nicht der Fragesteller, sondern sibelius. Augenzwinkern

Zitat:
Original von sibelius84
Außerdem gibt es einen (nicht exakt, aber grob) festgelegten "Erkenntnishorizont gemäß Studienverlauf" und von Teilnehmer*innen an Erstsemester-Veranstaltungen wäre das eigene Finden und Aufstellen einer solchen Vermutung meiner Meinung nach etwas viel verlangt, genau wie die richtige Idee zum Vertauschen der Summationsindices im letzten Schritt des zweiten Beispiels.

Durch und durch Unsinn, Studenten diesen und jenen Semesters solche Fähigkeiten per se abzusprechen. Wenn alles ordentlich begründet ist und nicht sonstwelche exotischen Sätze in Anspruch genommen werden, ist es Ok. Es ist sehr kleingeistig, Studenten für derartige Lösungen zu bestrafen.
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Es geht mir darum, was auf Übungszetteln von Studenten verlangt wird. Ich spreche niemandem gar nichts ab. Im Gegenteil: Wenn Manuel diese Lösung selber gefunden und vorgeschlagen hätte, wäre meine Reaktion eher diese hier gewesen: Tanzen Denn darauf wäre ich - im vorliegenden Kontext (!) - nicht gekommen. Mit partieller Summation kriegt man das natürlich ruck zuck raus, aber ich hoffe, wir haben wenigstens darüber Konsens, dass von Teilnehmenden an einer Erstsemester-Veranstaltung nicht zu erwarten ist, die partielle Summation herzuleiten und zu begründen...?

Wenn man in Hörsälen und Übungsräumen unterwegs ist, wo vor allem LA1 und Ana1 stattfinden, dann sieht man dort durchaus häufig viele verzweifelte Gesichter. Ok, zum einen mag das an der Mathematik an sich liegen. Mathematik ist etwas für ruhige, kühle Köpfe und da muss man erstmal hinkommen, ohne sich von den ganzen Notationen etc. verwirren zu lassen. Zum anderen liegt es aber auch an der Ignoranz derjenigen, die es schon können und sich immer wieder darin gefallen, im Glanze ihres Könnens zu erstrahlen - anstatt Lernende dort abzuholen, wo sie stehen und beim Häuslebauen einfach mal einen Backstein auf den anderen zu setzen.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von sibelius84
Wenn Manuel diese Lösung selber gefunden und vorgeschlagen hätte, wäre meine Reaktion eher diese hier gewesen

Hätte, hätte, Fahrradkette:

Wenn Fragesteller hier im Forum immer selbst auf die Lösung kommen müssen ohne Tipps und Hinweise, dann kann das Forum dicht gemacht werden. Wie gesagt, du kannst noch soviel darüber referieren, mich überzeugst du nicht.

Zitat:
Original von sibelius84
Denn darauf wäre ich - im vorliegenden Kontext (!) - nicht gekommen.

Und das disqualifiziert den Lösungsweg? Langsam reift in mir der Verdacht, dass du meine Vorschläge schlecht redest, obwohl dein obiger Weg nicht minder exotisch ist - ist denn manuel459 auf den "von selbst" gekommen? smile
ML_ Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Zitat:
Achja stimmt! Der kleine Haken ist leider, dass ich schwer begründen könnte, woher ich diese "Vermutung" habe, wenn nicht irgendwo gelesen!

Haken? Was ist schlimm daran, die Vermutung gelesen zu haben? Es ist doch ohnehin die Wahrheit: Du hast sie gelesen.

Ganz ähnlich ist das vermutlich mit dem größten Teil Deines übrigen Mathematikwissens: Welcher Anteil Deines Mathematikwissens entstammt denn wirklich einzig Deiner eigenen Genialität, und welcher Anteil geht zumindest teilweise auch auf die Arbeit von Generationen von Menschen vor Dir sowie auf Deine Lehrer zurück?

Wenn Du schlau bist, ärgerst Du Dich nicht darüber, dass Du nicht selbst auf die Lösung gekommen bist, sondern Du nimmst die Gleichung in Dein mathematisches Vokabular mit auf und verwendest sie bei der nächsten sinnvollen Gelegenheit.


Viele Grüße
Michael
manuel459 Auf diesen Beitrag antworten »

Naja ich versuch noch kurz meinen Standpunkt darzulegen:

Grundsätzlich spricht für mich ja nichts gegen ein Annehmen solcher Formeln und mathematischen "Tatsachen". Würde das aber im Sinne des Übungsleiters sein, weshalb stehen solche Hinweise dann nicht von Vornherein bei einer Angabe dabei? Muss ich es mühsam in Büchern suchen? Muss ich mich damit herumärgern? Geht es nicht eher um das anwenden des Lerninhalts, als um das aufspüren von Tatsachen und "Tricks"?

Bloßes reproduzieren und annehmen scheint mir im Lernprozess nicht als befriedigend, geschweige denn nachhaltig. Außerdem, ein "warum" ist doch legitim, vor allem wenn man noch nicht lange studiert und sich schwer im Stoff orientieren kann (bin im 3.Semester und studiere Lehramt). Von daher auch der Anreiz künftig dinge erklären zu können bzw. zu Wissen wo etwas herkommt. Weiß ich wie man darauf gekommen ist, kann ich dieses Orientierungswissen später nutzen. Schlussendlich läuft es aber darauf hinaus, dass ich der Meinung bin, Aufgaben die ohne Hinweis gestellt werden, sind solche, die man als Student mit seinen Mitteln eigenständig lösen kann/sollte.

Ich assoziiere das so: je weniger ich hinterfrage und "verstehe" (Verstehen im Sinne, dass man etwas selbst gemacht hat, nicht nur gesehen), desto statischer wird mein Wissen, desto weniger flexibel bin ich im Umgang mit Mathematik. Ansonsten sollten solche "Wahrheiten" auch als solche gekennzeichnet und hervorgehoben werden, um den Fokus der Studierenden auf wesentlicheres zu lenken und deren mathematische Kompetenz und vor allem das Verständnis dementsprechend zu fördern!

Zum "abholen wo sie stehen": Oft glaube ich einfach, kann man das einheitlich nicht sagen. Diese Zone der proximalen Distanz wird leicht überschritten, dann geht es nicht mehr um den Inhalt, sondern um das Herumärgern mit mathematischen Tatsachen die "ohnehin wahr" sind, auf die man selbst aber einfach nicht kommt. Didaktisch hinkt das sicher. Nur habe ich den Lösungsweg noch nie gesehen, kenne keine "Verwandten" Aufgaben und besitze auch noch nicht die Kompetenz, zu erkennen wann ich so eine Tatsache verwende (verwenden muss).

Edit: Die Summenformel kann man mit Methoden der Linearen Algebra (zumindest habe ich das im 1.Semester so gelernt) herleiten, ich könnte es ja auch, aber im Kontext der Aufgabenstellung liegt das äußerst Fern, ich sage es jetzt in meinen Worten: "Satz 329 aus Vorlesung La1 von vor 4 Monaten" zu verwenden wenn man den Zusammenhang nicht erkennt, da man beschäftigt ist den umfangreichen Stoff der gegenwärtigen Woche zu verinnerlichen und flexibel damit umzugehen. Man muss immer bedenken, dass wirklich alles neu ist, und man Muster schwer erkennt und auch eine Orientierung erst im Laufe der Zeit erhält.

LG
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von manuel459
Schlussendlich läuft es aber darauf hinaus, dass ich der Meinung bin, Aufgaben die ohne Hinweis gestellt werden, sind solche, die man als Student mit seinen Mitteln eigenständig lösen kann/sollte.

Dann würdest du also von selbst auf den von sibelius vorgeschlagenen Weg kommen, erst die Abschätzung durch Induktion nachzuweisen, um das anschließend zu nutzen, per und geometrischer Reihe die Beschränkung nachweisen zu können?

Und das soll viel naheliegender sein, als die Summenformel etwa durch Betrachten der ersten drei, vier Glieder zu erkennen und ebenfalls durch Induktion nachzuweisen? Oder auch naheliegender als etwa der einfache Beweis

Zitat:
ist Partialsumme der Reihe . Letzter ist konvergent, was einfach mit Quotientenkriterium nachgewiesen werden kann. Konvergente Folgen (in diesem Fall die Partialsummenfolge) sind immer beschränkt.

Ach ja, wahrscheinlich trifft folgendes zu: Dieser Beweis ist nicht akzeptabel, weil womöglich die Erstsemestler noch nicht bei Reihen sind und deswegen auf ihre Gymnasialkenntnisse dazu (noch?) nicht zurückgreifen dürfen? smile


Die ursprüngliche Frage oben war doch

Zitat:
Original von manuel459
Ich habe das mithilfe von Partialsummen gelöst, wollte aber fragen ob das nicht einfacher auch geht.

Einfacher heißt für mich nicht, dass jeder auch zwangsläufig einfach drauf kommt. Aber für den kleinen Gauß war es sicherlich einfacher, nur zu rechnen statt wie seine Klassenkameraden mit dem angemessenen "Erkenntnishorizont gemäß Volksschulverlauf" sukzessive zu addieren.


Übrigens: Was bedeutet eigentlich "Ich habe das mithilfe von Partialsummen gelöst" ? Das könntest du uns wenigstens noch mitteilen, Zeit genug scheinst du ja zu haben.
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