Inkreismittelpunkt des Dreiecks (gewichtete Mittel) herleiten

18.11.2017, 11:35

johnny95123

Inkreismittelpunkt des Dreiecks (gewichtete Mittel) herleiten

Meine Frage:
Zeigen Sie die Formel $\begin{eqnarray*} I = \frac{a*A + b*B + c*C}{a+b+c} \end{eqnarray*}$ allgemein.

A,B,C sind die Eckpunkte. $\begin{eqnarray*} a=|\overrightarrow{BC}| \end{eqnarray*}$ ebenso für b,c.

Meine Ideen:
Ich habe die beiden Winkelhalbierenden aufgestellt und sie gleichgesetzt:

$\begin{eqnarray*} w_a: X = A + t*(\frac{C-A}{b} + \frac{B-A}{c})<br /> \\<br /> w_b: X = B + s*(\frac{A-B}{c} + \frac{C-B}{a}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A-B = s*(\frac{A-B}{c} +\frac{C-B}{a}) - t*(\frac{C-A}{b} +\frac{B-C}{c}) \end{eqnarray*}$

Wie soll ich denn mein s oder t ausrechnen?

18.11.2017, 12:22

riwe

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RE: Innkreismittelpunkt des Dreiecks (gewichtete Mittel) herleiten
durch Umordnen, dann bekommst du so etwas:

(....)*A + (...)*B + (...)*C = O
woraus du die beiden Parameter bestimmen kannst, da diese Gleichung für beliebige A, B und C gelten muß Augenzwinkern

edit: dieser kreis liegt nicht am Inn smile

18.11.2017, 13:06

johnny951234

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RE: Innkreismittelpunkt des Dreiecks (gewichtete Mittel) herleiten
So?

$\begin{eqnarray*} 0=A*(abs+act -1) + B*(-abs-bcs-abt + 1) + C*(bcs-act+abt) \end{eqnarray*}$

Wenn ich die Klammerausrücke null setze kommt 0=0 traurig

Siehe hier:

$\begin{eqnarray*} abs + act -1= 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -abs -bcs -abt +1= 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} bcs - act +abt = 0 \end{eqnarray*}$

2. + 3. und das ergebnis +1. führt zu 0=0.

18.11.2017, 13:38

riwe

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RE: Innkreismittelpunkt des Dreiecks (gewichtete Mittel) herleiten
bin zu faul für dein Zeug.
ich erhalte aus (...)*C=O

a*t = b*s

nun setzte in eine der anderen Gleichungen ein

18.11.2017, 13:56

johnny951234

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RE: Innkreismittelpunkt des Dreiecks (gewichtete Mittel) herleiten
danke für die Antwort Wink

meld mich später

18.11.2017, 15:38

johnny951234

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RE: Innkreismittelpunkt des Dreiecks (gewichtete Mittel) herleiten
mit bs=at kommt bei mir:

$\begin{eqnarray*} t = \frac{b*c}{a+c} \end{eqnarray*}$

Eingesetzt in w_a:

$\begin{eqnarray*} X = \frac{aA-bA+bB+cC}{a+c} \end{eqnarray*}$

jetzt fehlt unten nur mehr das b und oben gehört das bA weg verwirrt

Gleichsetzen der Geraden Korrektur: (statt 1, abc)

$\begin{eqnarray*} 0=A*(abs+act-abc)+B*(-abs-bcs-abt+abc)+C*(bcs-act+abt) \end{eqnarray*}$

Leider hab ich noch nicht verstanden wie du auf bs=at kommst? bei mir bleibt da (von (..)*C):

$\begin{eqnarray*} bs + \frac{abt}{c}=at \end{eqnarray*}$

18.11.2017, 15:56

johnny951234

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Nochmalige Korrektur des Gleichsetzens: (sorry)

$\begin{eqnarray*} 0 = A * (-abc + abs +act -abt) + B *(abc -abs -bcs +abt) + C*(bcs - act) \end{eqnarray*}$

18.11.2017, 16:53

johnny951234

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Geschafft

Schneiden der Winkelhalbierenden führt zu:

$\begin{eqnarray*} 0 = A(-abc+abs+act+abt)+B(abc-abs-bcs-abt)+C(bcs-act) \end{eqnarray*}$

Wenn man die Klammer bei C null setzt ergibt sich (warum darf man das eigentlich?)

$\begin{eqnarray*} bs=at \end{eqnarray*}$

Eingesetzt in die nullgesetzte Klammer be A:

$\begin{eqnarray*} t=\frac{bc}{a+b+c} \end{eqnarray*}$

und t eingesetzt in w_a:

$\begin{eqnarray*} X = A + \frac{bc}{a+b+c}*(\frac{C-A}{b} +\frac{B-A}{c} ) \end{eqnarray*}$

führt vereinfacht auf:

$\begin{eqnarray*} X = \frac{aA+bB+cC}{a+b+c} = I \end{eqnarray*}$

Leider versteh ich nicht so ganz warum man die Klammern nullsetzen darf verwirrt

$\begin{eqnarray*} a(b+c)+d(e+f)=0 \end{eqnarray*}$ , kann ja gelten auch wenn (b+c) ungleich null ist.

18.11.2017, 20:11

Leopold

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Vielleicht ist es günstiger, mit den Normalenformen zu rechnen. Zu einem Vektor $\begin{align*} x = (x_1,x_2) \end{align*}$ definiert man den Vektor $\begin{align*} x^{\bot} = (-x_2,x_1) \end{align*}$ . Er entsteht aus $\begin{align*} x \end{align*}$ durch Drehung um 90° gegen den Uhrzeigersinn. Offenbar ist die Abbildung $\begin{align*} x \mapsto x^{\bot} \end{align*}$ linear.

Dann ist

$\begin{align*} u = \left( \frac{1}{c} (B-A) + \frac{1}{b} (C-A) \right)^{\bot} = \frac{1}{c} (B-A)^{\bot} + \frac{1}{b} (C-A)^{\bot} \end{align*}$

ein Normalenvektor der Winkelhalbierenden von $\begin{align*} A \end{align*}$ und

$\begin{align*} u(X-A) = 0 \end{align*}$

eine Gleichung dieser Winkelhalbierenden. Natürlich ist mit der Multiplikation von Vektoren hier das Skalarprodukt gemeint.

Um zu zeigen, daß $\begin{align*} I \end{align*}$ auf dieser Winkelhalbierenden liegt, setzt man $\begin{align*} X=I \end{align*}$ in die linke Seite der Gleichung ein:

$\begin{align*} u(I-A) = u \left( \frac{b}{a+b+c} (B-A) + \frac{c}{a+b+c} (C-A) \right) \end{align*}$

Das kannst du, wenn du die Bedeutung von $\begin{align*} u \end{align*}$ einsetzt und bedenkst, daß Vektoren, die aufeinander senkrecht stehen, das Skalarprodukt 0 besitzen, umformen zu

$\begin{align*} \frac{1}{a+b+c} \left( (B-A)^{\bot} (C-A) + (C-A)^{\bot} (B-A) \right) \end{align*}$

Jetzt wäre nur noch zu zeigen, daß die Klammer den Wert 0 ergibt. Es gilt aber ganz allgemein $\begin{align*} v^{\bot} w + w^{\bot} v = 0 \end{align*}$ , wie man direkt mit der Definition nachrechnen kann.

22.11.2017, 11:43

riwe

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Zitat:

Original von johnny951234
Geschafft Big Laugh

(steht eigentlich oben)
gute Frage Augenzwinkern

oder vielleicht so:
A, B und C sind linear abhängigalso C = mA + nB
oben eingesetzt und zusammengefaßt ergibt:

$\begin{eqnarray*} A\cdot(1-\frac{b+c}{bc}t-\frac{s}{c}+\frac{m}{b}t-\frac{m}{a}s)+B\cdot(-1+\frac{t}{b}+\frac{a+c}{ac}s+\frac{n}{b}t-\frac{n}{a}s)=O \end{eqnarray*}$

da A und B lua sind, müssen die beiden Klammern jeweils 0 ergeben, woraus wie gewünscht und erhofft folgt

$\begin{eqnarray*} (m+n-1)\cdot(\frac{t}{b}-\frac{s}{a})=0 \end{eqnarray*}$

weiter wie gehabt Augenzwinkern

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