Klasse ungeordneter Summen

18.11.2017, 14:54	FelNa1109	Auf diesen Beitrag antworten »
Klasse ungeordneter Summen Sei $\begin{eqnarray} T = \left\{ \tau_1, ..., \tau_r\right\} \end{eqnarray}$ eine endliche Menge natürlicher Zahlen. Ferner sei $\begin{eqnarray} G_T \end{eqnarray}$ die Klasse der ungeordneten Summen von Elementen aus $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ , in denen jedes $\begin{eqnarray} \tau_i \end{eqnarray}$ höchstens einmal vorkommt, und $\begin{eqnarray} \|.\|_{G_T} \end{eqnarray}$ wie üblich die Summe der Teile. Geben Sie die erzeugende Funktion von $\begin{eqnarray} G_T \end{eqnarray}$ an. Ich hab ehrlich gesagt jetzt nur versucht erstmal aufzuschreiben, was ich den überhaupt habe... aber irgendwie komme ich nicht weiter... Hoffe mir kann jemand helfen. Haben: $\begin{eqnarray} T = \left\{ \tau_1, ..., \tau_r\right\} \end{eqnarray}$ endlich $\begin{eqnarray} G_T = \end{eqnarray}$ "ungeordnete Summen aus $\begin{eqnarray} T = \end{eqnarray}$ " $\begin{eqnarray} \left\{ \pi = \left(\tau_1^{k_1}, ..., \tau_r^{k_r}\right) = \left(\tau_1, ..., \tau_1\right)k_1 mal, ... , \left(\tau_r, ..., \tau_r\right)k_r mal : k_i\in\left\{ 0, 1\right\} \right\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \|.\|_{G_T} = \|\left(\tau_1^{k_1}, ..., \tau_r^{k_r}\right)\|_{G_T} =k_1\tau_1 + ... + k_r\tau_r = \sum\limits_{i=1}^{r} \| \tau_i^{k_i} \| \end{eqnarray}$
18.11.2017, 16:36	FelNa1109	Auf diesen Beitrag antworten »
Da mir anscheinend keiner weiterhelfen will, hab ich halt noch selbst weiter überlegt und bin jetzt hierauf gestoßen: Gesucht ist ja die erzeugende Funktion dafür, das jedes $\begin{eqnarray} \tau_i \end{eqnarray}$ höchstens einmal vorkommt. Also hab ich mir einfach mal die erzeugenden Fkt. gebastelt, für die Anzahl der Möglichkeiten, eine Zahl in höchstens einen $\begin{eqnarray} \tau_i \end{eqnarray}$ Summanden zu zerlegen. Und das für jedes einzelne $\begin{eqnarray} \tau_i \end{eqnarray}$ . Für beispielweise $\begin{eqnarray} \tau_1 \end{eqnarray}$ gibt es ja nur zwei Zahlen, die man in höchstens einen $\begin{eqnarray} \tau_1 \end{eqnarray}$ Summanden zerlegen kann, nämlich $\begin{eqnarray} \tau_1 \end{eqnarray}$ selbst und $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ (leere Summe) Also ist die erz.Fkt. $\begin{eqnarray} a_1(z) = 1+z^{\tau_1} \end{eqnarray}$ So sehen die erzeugenden Funktionen dann für jedes $\begin{eqnarray} \tau_i \end{eqnarray}$ aus und man hat letzten Endes als erzeugende Funktion $\begin{eqnarray} F(z) \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} G_T \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} F(z) = a_1(z)...a_r(z) = (1+z^{\tau_1})(1+z^{\tau_2})...(1+z^{\tau_r}) \end{eqnarray}$

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