Beweis, dass eine Menge ein algebraischer Verband ist

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18.11.2017, 18:37	Steffanie	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis, dass eine Menge ein algebraischer Verband ist Meine Frage: Die Aufgabe lautet: Eine Menge A von natürlichen Zahlen heißt coendlich, falls $\begin{eqnarray} \mathbb N \end{eqnarray}$ \A endlich ist. Beweisen Sie: 1. ({A $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ P( $\begin{eqnarray} \mathbb N \end{eqnarray}$ ) \| A ist endlich oder coendlich}, $\begin{eqnarray} \cap \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \cup \end{eqnarray}$ ) ist ein algebraischer Verband. 2. ({A $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ P( $\begin{eqnarray} \mathbb N \end{eqnarray}$ ) \| A ist endlich oder coendlich}, $\begin{eqnarray} \cap \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \cup \end{eqnarray}$ ) ist kein vollständiger algebraischer Verband. Informationen aus dem Script: siehe Anhang Meine Ideen: Meine Idee wäre , dass ja Assoziativität , Kommutativität und Absorbition genauso für die Vereinigung und den Schnitt wie für und und oder gelten. Allerdings weiß ich jetzt nicht genau wie ich beweise, dass ({A $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ P( $\begin{eqnarray} \mathbb N \end{eqnarray}$ ) \| A ist endlich oder coendlich}, $\begin{eqnarray} \cap \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \cup \end{eqnarray}$ )ein Verband ist. Also ich denke, dass ich beweisen muss, dass ein Supremum und ein Infimum existiert, aber wie mache ich das ?
18.11.2017, 19:15	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
1. Beweise die Rechenregeln, dann ist das ein Verband. 2. Beweise, dass nicht jede Teilmenge ein Supremum und Infimum hat, sonst wäre der Verband vollständig.
19.11.2017, 13:59	Steffanie	Auf diesen Beitrag antworten »
Woher weiß ich denn, wie ich die Rechenregeln beweise ?
19.11.2017, 14:20	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Entweder weißt du schon aus der Mengenlehre, dass z.B. für den Durchschnitt zweier Mengen gilt $\begin{eqnarray} A\cap B=B\cap A \end{eqnarray}$ , oder du beweist, dass beide Durchschnitte gleich sind, indem du zeigst, dass beide Mengen gleich sind, also ist zu zeigen: $\begin{eqnarray} x\in A\cap B\Rightarrow x\in B\cap A\wedge x\in B\cap A\Rightarrow x\in A\cap B \end{eqnarray}$ Beweis: $\begin{eqnarray} x\in A\cap B\Rightarrow x\in A\wedge x\in B\Rightarrow x\in B\wedge x\in A\Rightarrow x\in B\cap A \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x\in B\cap A\Rightarrow x\in B\wedge x\in A\Rightarrow x\in A\wedge x\in B\Rightarrow x\in A\cap B \end{eqnarray}$ , also ist $\begin{eqnarray} A\cap B=B\cap A \end{eqnarray}$ , also ist die Durchschnittsbildung $\begin{eqnarray} \cap \end{eqnarray}$ kommutativ . qed . Genau so einfach für alle anderen Rechenregeln, die für einen algebraischen Verband gelten sollen.
20.11.2017, 09:51	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Achtung: Für die Aufgabe 1. musst du auch noch beweisen, dass Durchschnitt und Vereinigung von 2 endlichen oder coendlichen Mengen wieder endlich oder coendlich sind. Dazu sind jeweils 3 Fälle zu unterscheiden. Genau so wie in der allgemeinen Mengenlehre folgt daraus mittels vollständiger Induktion, dass alle Rechenregeln für endlich viele endliche oder coendliche Mengen gelten (das nennt man dann "allgemeines Assoziativgesetz" etc.) Für die Aufgabe 2. sollte damit klar sein, dass Gegenbeispiele nicht im Bereich endlicher Durchschnitte oder Vereinigungen zu finden sind.
21.11.2017, 08:08	Steffi92	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei 1. hatte ich gestern dann 4 Fälle unterschieden und zwar, dass 1. sowohl A als auch B endlich 2.sowohl A als auch B coendlich 3.A oder B endlich 4.A oder B coendlich und das dann mehr oder weniger bewiesen, dass dann die Vereinigung und der Schnitt abgeschlossen sind . und zu A2. ist es doch so, dass endliche Mengen immer ein Supremum und ein Infimum haben weil sie nach oben und unten hin begrenzt sind oder ? Mein Problem ist, dass ich nicht genau weiß was coendlich ganz genau in dem Zusammenhang bedeutet bzw. wie ich da die Vollständigkeit zeigen kann.
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21.11.2017, 10:55	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Teilmenge $\begin{eqnarray} C\subseteq \mathbb N \end{eqnarray}$ heißt coendlich, wenn das Complement $\begin{eqnarray} \mathbb N\backslash C \end{eqnarray}$ endlich ist. (Das hast du so definiert.) Wie hast du 1. bewiesen ohne das zu wissen ? 2. musst du nicht beweisen sondern widerlegen. Finde ein Gegenbeispiel, indem du unendlich viele endliche Mengen angibst, die kein Supremum im Verband der coendlichen Elemente von $\begin{eqnarray} P(\mathbb N) \end{eqnarray}$ haben.
21.11.2017, 23:32	Steffi92	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso ja bei 1. hatten wir in unseren Vorlesungsfolien Mengengesetze für Schnitt , Komplement und Vereinigung definiert, die ich dafür benutzt habe.. und bei 2.genau das meinte ich aber wie wiederlege ich das ? ist es so, das wenn A coendlich ist ist es nicht endlich, also hat es kein z.B. festes Maximum also supremum ?
22.11.2017, 08:17	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
1. Ich glaube, du machst es dir hier zu leicht. Vermutlich hast du die Aufgabe noch nicht verstanden. In der Vorlesung findest du die Lösung nicht, du musst selbst etwas tun. Um mich zu überzeugen, zeige mir deinen Beweis. 2. Für coendliches A ist A das Supremum von {A}, denn A ist coendlich und A<=A. So einfach ist es also nicht. (Wenn du 1. verstanden hättest, hättest du bei 2. nicht diesen Fehler gemacht.)
22.11.2017, 14:47	Steffi92	Auf diesen Beitrag antworten »
siehe Anhang ( man muss auf das Bild draufklicken sonst sieht man es nicht )
22.11.2017, 18:35	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
1. Sieht gut aus - ich spare mir die Prüfung des Beweises auf Vollständigkeit. 2. Wir wissen nun, dass jede endliche Vereinigung endlicher oder coendlicher Mengen $\begin{eqnarray} V=M_1\cup ...\cup M_n \end{eqnarray}$ wieder endlich oder coendlich ist, also ist $\begin{eqnarray} V=sup\{M_1, ..., M_n\} \end{eqnarray}$ . Damit der Verband nicht vollständig ist, musst du ein Beispiel finden, das unendlich viele (endliche !) Mengen vereinigt, nicht endlich oder coendlich ist, und dann zeigst du, dass diese Vereinigung keine kleinste Obermenge in der allgemeinen Potenzmenge der natürlichen Zahlen hat.
23.11.2017, 21:20	Steffi92	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank habe Aufgabe 2 jetzt verstanden und geschafft.
24.11.2017, 08:08	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das freut mich. Welches Beispiel oder welche Menge von Beispielen hast du gewählt ? (Übrigens kenne ich deine Beispiele schon, denn ich kenne alle Beispiele )
25.11.2017, 15:00	Steffi92	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe die Menge der ungeraden Zahlen gewählt.
25.11.2017, 17:51	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Idee ist zweifellos gut, das war auch meine erste Idee. Jetzt musst du aber bitte erläutern, a) was diese Teilmenge der ungeraden (natürlichen) Zahlen mit endlichen oder coendlichen Teilmengen der natürlichen Zahlen zu tun hat, b) was das mit Infimum oder Supremum zu tun hat, c) was das mit der Vollständigkeit oder Unvollständigkeit von $\begin{eqnarray} P(\mathbb N) \end{eqnarray}$ zu tun hat. Was genau ist die Behauptung, und wie funktioniert der Beweis ?
04.12.2017, 18:17	Steffi92	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke das hatte ich am Ende auch genauso gemacht. Wenn Interesse besteht kann ich meine Idee aber auch zeigen .
04.12.2017, 18:30	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiß, wie es geht, aber vielleicht hat die Allgemeinheit ein berechtigtes Interesse, etwas zu sehen und zu lernen.

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