Bernoulli-Verteilung?

18.11.2017, 20:24	FelNa1109	Auf diesen Beitrag antworten »
Bernoulli-Verteilung? Hallo, ich kämpfe schon den ganzen Tag mit dieser Aufgabe: c) Seien $\begin{eqnarray} X_i, i=1, ..., n \end{eqnarray}$ unabhängige Zufallsvariablen, alle mit der selben Verteilung $\begin{eqnarray} P(X_i=0)=q, P(X_i=1)=p=1-q \end{eqnarray}$ und sei $\begin{eqnarray} Z=X_1+ ... +X_n \end{eqnarray}$ . Berechnen Sie $\begin{eqnarray} \mathbb E(Z) \end{eqnarray}$ , die erzeugende Funktion der Wahrscheinlichkeiten von $\begin{eqnarray} Z \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mathbb V(Z) \end{eqnarray}$ . Das einzige was mir aufgefallen ist, ist das es sich um eione Bernoulli-Verteilung zu handeln scheint, aber weiter komme ich bei der trotzdem nicht. Es wäre wirklich sehr schön, wenn mir jemand einen Ratschlag geben könnte... Danke im Vorraus.
19.11.2017, 00:09	FelNa1109	Auf diesen Beitrag antworten »
Falls es noch jemanden interessiert: $\begin{eqnarray} \mathbb E(Z) = \mathbb E(X_1+...+X_n) =\mathbb E(X_1) + ... + \mathbb E(X_n) = np \end{eqnarray}$ Da für ein $\begin{eqnarray} \mathbb E(X_i) = p1 + 0q = p \end{eqnarray}$ gilt. $\begin{eqnarray} \mathbb V(Z) = \mathbb V(X_1+...+X_n) =\mathbb V(X_1) + ... + \mathbb V(X_n) = npq \end{eqnarray}$ Da für ein $\begin{eqnarray} \mathbb V(X_i) = p - p^2 = p(1-p) = p(1-(1-q)) = pq \end{eqnarray}$ gilt. $\begin{eqnarray} P(Z) = \sum\limits_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} q^k p^{n-k}z^k = \sum\limits_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} q^k (1-q)^{n-k}z^k = \sum\limits_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} (qz)^k p^{n-k} = (qz + (1-q))^n \end{eqnarray}$

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »