Permutationen

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Opher19782808 Auf diesen Beitrag antworten »
Permutationen
Meine Frage:
Sei n ? N. Beweise, dass jede Permutation in Sn eindeutig (bis auf Reihenfolge)
als Produkt von disjunkten Zykeln geschrieben werden kann

Meine Ideen:
Da die disjunkten Zykel eindeutige Bijektionen sind, sind beliebige Verknüpfungen der Bijektionen wieder eine eindeutige Bijektion?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, aber das beantwortet nicht die Frage. Du sollst umgekehrt zeigen, dass jede Permutation von {1,...,n} eindeutig (bis auf Reihenfolge) als Produkt von disjunkten Zykeln geschrieben werden kann.
Opher19782808 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin nicht sicher, ob ich es verstanden habe..
Wäre dem nicht so (dass jede Permutation als Produkt disjunkter Zykel geschrieben werden könnte) müsste es Permutationen geben, die nicht bijektiv sind.
Sonst kann ein Zykel entweder ein Objekt enthalten, ist also ein Zykel in sich oder der Zykel geht (bijektiv) weiter bis er (auf eindeutige/bijektive Weise) wieder in sich münden muss, weil jedes Objekt der 'Ausgangsmenge' genau einmal in der 'Zielmenge' ist/sein muss?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Permutationen sind per Definition bijektive Selbstabbildungen. Du sollst beweisen, dass jede Permutation von {1,...,n} als Produkt von Zykeln dargestellt werden kann. Ob das so ist oder nicht hat überhaupt keinen Einfluss auf Zykeln.

Tipp: Wie schreibt man solche Permutationen ? Leite aus der Schreibweise eine Zykeldarstellung ab und beweise ihre Eindeutigkeit unter der zusätzlichen Voraussetzung der Disjunktheit.
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