Bijektivität einer Abbildung

20.11.2017, 16:03

Croomer

Bijektivität einer Abbildung

Meine Frage:
Zeigen Sie, dass
$\begin{eqnarray*} \mathbb Q_{[\sqrt{2}]} ; \gamma (a+b\sqrt{2} ) := a-b\sqrt{2} \end{eqnarray*}$
ein Körperautomorphismus ist.

Meine Ideen:
Dass $\begin{eqnarray*} \mathbb Q_{[\sqrt{2}]} \end{eqnarray*}$ habe ich in der Aufgabe zuvor schon bewiesen.

Ich habe dann die 3 Bedingungen für einen Körperhomomorphismus nachgewiesen.
Zu zeigen bleibt mir, dass $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ bijektiv ist.
Meine Idee dazu ist, dass ich zeige, dass Gamma injektiv ist, denn dann ist es sicherleich auch surjektiv.

Ich bin mir allerdings nicht sicher, wie ich das aufschreiben soll. Ich hab es mal so probiert, aber ich bin mir nicht sicher, ob man das so machen kann:

Sei $\begin{eqnarray*} x=(a+b\sqrt{2}),y=(c+d\sqrt{2} )\in Q_{[\sqrt{2}]} \end{eqnarray*}$ , und $\begin{eqnarray*} \gamma (x) = \gamma (y) <=> a-b\sqrt{2} =c-d\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ .
Dann müssen die Rationalteile und die Reelteile gleich sein, also $\begin{eqnarray*} a=b \wedge -b\sqrt{2} =-d\sqrt{2} <=> b\sqrt{2} =d\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ . Dann ist auch $\begin{eqnarray*} a+b\sqrt{2} =c+d\sqrt{2} <=> x=y \end{eqnarray*}$ . Also ist Gamma injektiv.
Will ich $\begin{eqnarray*} |\mathbb Q_{[\sqrt{2}]}| =:n \end{eqnarray*}$ Elementa auf n Elemente abbilden, ohne eines mehrmals zu treffen, so muss ich jedes Element des Definitionsbereichs auf ein anderes Element des Zielbereichs abbilden. Man muss also jedes Element in der Zielmenge einmal treffen. Somit itst $\begin{eqnarray*} \gamma (\mathbb Q_{[\sqrt{2}]})=\mathbb Q_{[\sqrt{2}]} \end{eqnarray*}$ .

Also ist Gamma bijektiv und ein Körperautomorphismus.

Darf man das mit dem Reel- und Rationalteil so machen?

20.11.2017, 19:37

Elvis

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Injektiv stimmt fast. Es ist $\begin{eqnarray*} a-b\sqrt 2=c-d\sqrt 2 \end{eqnarray*}$ gdw. $\begin{eqnarray*} a=c \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b=d \end{eqnarray*}$ gdw $\begin{eqnarray*} a+b\sqrt 2=c+d\sqrt 2 \end{eqnarray*}$ .

Bei unendlichen Mengen folgt die Surjektivität nicht aus der Injektivität. Hier ist es aber leicht, für jedes $\begin{eqnarray*} a+b\sqrt 2 \end{eqnarray*}$ ein Urbild anzugeben.

20.11.2017, 21:27

Croomer

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Zitat:

Original von Elvis
Bei unendlichen Mengen folgt die Surjektivität nicht aus der Injektivität. Hier ist es aber leicht, für jedes $\begin{eqnarray*} a+b\sqrt 2 \end{eqnarray*}$ ein Urbild anzugeben.

Ok, aber bei endlichen Mengen, kann ich das schon so begründen, oder?

Das Urbild zu jedem $\begin{eqnarray*} (a+b\sqrt{2}) \in \mathbb Q_{[\sqrt{2}]} \end{eqnarray*}$ ist ja $\begin{eqnarray*} (a-b\sqrt{2}) \in \mathbb Q_{[\sqrt{2}]} \end{eqnarray*}$ . Da a und b beliebig war, gibts es also zu jedem Element ein Urbild. Somit wird auch jedes Element getroffen.

21.11.2017, 10:46

Elvis

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Zitat:

Original von Croomer
Ok, aber bei endlichen Mengen, kann ich das schon so begründen, oder?

Nur wenn die endlichen Mengen die gleiche Anzahl Elemente haben. $\begin{eqnarray*} f:M=\{1,2\}\to N=\{1,2,3\}, x\mapsto x \end{eqnarray*}$ ist injektiv aber nicht surjektiv.

Dass $\begin{eqnarray*} \mathbb Q[\sqrt 2]=\mathbb Q(\sqrt 2) \end{eqnarray*}$ abzählbar unendlich ist, und dass das erheblich mehr als endlich ist, ist auch klar.

21.11.2017, 17:45

Croomer

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Ok. Danke dir smile

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