Gedächtnislosigkeit der Exponentialverteilung

20.11.2017, 22:54

Sabaody

Gedächtnislosigkeit der Exponentialverteilung

Meine Frage:
Heyho,

ich bin neu hier. Ich habe eine Aufgabe, mit der ich klar komme, da mein Vorlesungsmaterial nicht ausreichend ist, meines Erachtens:/

Ich darf eine Wahrscheinlichkeit von $\begin{eqnarray*} P\left(3\leq X\leq 5 |X\geq 3,5\right) \end{eqnarray*}$ berechnen, wobei X eine ZV mit Exponentialverteilung auf Reelle Zahlen zum Parameter $\begin{eqnarray*} \lambda = 2 \end{eqnarray*}$ sei. Anstatt X größer gleich 3,5 gilt X kleiner 3,5

Hinzu kommt die Wahrscheinlichkeitsberechnung für die Gleichverteilung und die geometrische Verteilung. Auch da habe ich keine Ahnung. Vielen Dank im Voraus

Meine Ideen:
Ideen habe ich leider keine und im Internet finde ich auch nichts passendes dazu :/

20.11.2017, 23:14

HAL 9000

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Ich gehe mal davon aus, dass du $\begin{align*} P\left(3\leq X\leq 5 \mid X\geq 3.5\right) \end{align*}$ berechnen sollst, denn ansonsten

Zitat:

Original von Sabaody
Anstatt X größer gleich 3,5 gilt X kleiner 3,5

redest du ziemlich wirr.

Das ganze kann man schlicht über die Definition $\begin{align*} P(A \mid B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)} \end{align*}$ berechnen, und das hattest du gewiss in der Vorlesung! Das bedeutet dann

$\begin{align*} P\left(3\leq X\leq 5 \mid X\geq 3.5\right) = \frac{P\left(3\leq X\leq 5,\; X\geq 3.5\right)}{P\left(X\geq 3.5\right)} = \frac{P\left(3.5\leq X\leq 5\right)}{P\left(X\geq 3.5\right)} = \frac{F_X(5)-F_X(3.5)}{1-F_X(3.5)} \end{align*}$ ,

letzteres gilt zumindest für stetige Zufallsgrößen (und auch für diskrete Zufallsgrößen, die nicht die Zahl 3.5 annehmen können).

22.11.2017, 07:37

Sabaody

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Guten Morgen Wink

vielen Dank für die schnelle Antwort.
Ich war am Abend etwas fertig. Deswegen das diffuse Gerede.
Ich meinte $\begin{eqnarray*} X >3.5 \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} X \geq 3.5 \end{eqnarray*}$ .

Inwiefern ändert sich dann die Gleichung?

22.11.2017, 09:22

HAL 9000

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Die Endgleichung ganz rechts ändert sich dann gar nicht, sofern $\begin{align*} P(X=3.5)=0 \end{align*}$ ist. Und das ist der Fall für stetige Zufallsgrößen $\begin{align*} X \end{align*}$ oder aber auch für diskrete Zufallsgrößen $\begin{align*} X \end{align*}$ , welche diesen Wert 3.5 nicht annehmen können - das betrifft z.B. sämtliche sogenannten Anzahlzufallsgrößen, welche nur natürliche Zahlen als Werte annehmen (wie geometrische und hypergeometrische Verteilung, Binomial- und Poissonverteilung).

22.11.2017, 11:49

Sabaody

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Danke nochmals, aber irgendwie stehe ich immer noch auf dem Schlauch. verwirrt

Die Formel lautet: $\begin{eqnarray*} 2e^{-2x} \end{eqnarray*}$ mit den genannten Bedingungen. Das untere BIld ist das Beispiel aus der Vorlesung.

Wie kann ich das auf die Aufgabe anwenden? Erstaunt1

[attach]45755[/attach]

22.11.2017, 12:36

HAL 9000

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Ich weiß nicht, was das mit dem Scan soll, das ist eine ganz andere Aufgabe...

Bezogen auf das Original oben: Die Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung ist $\begin{align*} F_X(t) = 1-e^{-\lambda t} \end{align*}$ für $\begin{align*} t\geq 0 \end{align*}$ , bei dir ist der Parameterwert $\begin{align*} \lambda=2 \end{align*}$ . Also einfach EINSETZEN:

$\begin{align*} P\left(3\leq X\leq 5 \mid X> 3.5\right) = \frac{F_X(5)-F_X(3.5)}{1-F_X(3.5)} = \frac{1-e^{-2\cdot 5}-\left(1-e^{-2\cdot 3.5}\right)}{1-\left(1-e^{-2\cdot 3.5}\right)} = \frac{e^{-7}-e^{-10}}{e^{-7}} = 1-e^{-3} \approx 0.9502 \end{align*}$

22.11.2017, 13:10

Sabaody

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Danke für den Hinweis Big Laugh

Achso jetzt dämmert es mir- die Verteilungsfunktion-> total vergessen Finger1

vielen dank für deine Hilfe Gott

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