Verdichtungssumme

21.11.2017, 21:23

summa

Verdichtungssumme

Hallo zusammen,

ich lese den Verdichtungskriteriumbeweis, der hier steht: de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Cauchysches_Verdichtungskriterium

Wo ist steht "Beweisschritt 1", genau in der ersten Summe, wie kann man in der letzten Klammer $\begin{eqnarray*} (a_{2^{n-1}+1}+...+a_{2n}) \end{eqnarray*}$ wissen, dass der erste Wert von $\begin{eqnarray*} (a_{2^{n-1}+1}) \end{eqnarray*}$ anfangen soll? Also insgesamt gibt es $\begin{eqnarray*} 2^{n-1}-1 \end{eqnarray*}$ Teilglieder in dieser Klammer. Gibt es einen Trick, Tipp, Rat, wie man das allgemeinen kann, sodass man das in anderen Aufgaben benutzen kann?

21.11.2017, 21:28

HAL 9000

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Da steht nicht $\begin{eqnarray*} (a_{2^{n-1}+1}+...+a_{2n}) \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} (a_{2^{n-1}+1}+...+a_{2^n}) \end{eqnarray*}$ . Und das ist auch gleich die Antwort auf deine Frage: Wenn der letzte Index dieser Sequenz gleich $\begin{eqnarray*} 2^n \end{eqnarray*}$ ist, dann ist der Startindex der nächsten Sequenz eins größer, also $\begin{eqnarray*} 2^n+1 \end{eqnarray*}$ . Für die eben erst beendete Sequenz bedeutet das dann aber Startindex $\begin{eqnarray*} 2^{n-1}+1 \end{eqnarray*}$ (d.h. gleiche Struktur, nur mit Exponent eins kleiner).

Zitat:

Original von summa
Also insgesamt gibt es $\begin{eqnarray*} 2^{n-1}-1 \end{eqnarray*}$ Teilglieder in dieser Klammer.

Nein, es sind eins mehr, also insgesamt $\begin{eqnarray*} 2^{n-1} \end{eqnarray*}$ Glieder.

21.11.2017, 21:45

summa

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Ja die 2n war ein Tippfehler. Ah ok..ja klar jetzt sehe ich das. Also wir wissen, dass es insgesamt 2^n Elemente in der Summe. Dann benutzten wir den "Trick", dass wir von 2^0 bis 2^(n-1) die Elemente zusammenklammern, oder? Eigentlich nicht, weil a_1 und a_2 sind nicht zusammengeklammert. Kannst Du das bitte erklären?

21.11.2017, 21:46

HAL 9000

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Wenn man wie du in solchen Sachen dermaßen unsicher ist, dann muss man das eben mal für kleine $\begin{align*} n \end{align*}$ ausführlich aufschreiben, bis einem die Sache klar ist:

Für $\begin{align*} n=1 \end{align*}$ ist $\begin{align*} a_{2^{n-1}+1}+\ldots +a_{2^n} = a_2 \end{align*}$ .

Für $\begin{align*} n=2 \end{align*}$ ist $\begin{align*} a_{2^{n-1}+1}+\ldots +a_{2^n} = a_3+a_4 \end{align*}$ .

Für $\begin{align*} n=3 \end{align*}$ ist $\begin{align*} a_{2^{n-1}+1}+\ldots +a_{2^n} = a_5+a_6+a_7+a_8 \end{align*}$ .
...

Jetzt klarer?

21.11.2017, 23:14

summa

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Jetzt klarer. smile

. Danke schön!

22.11.2017, 08:36

summa

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Hallo HAL 9000,

wie kriegen wir dann a_1? Ist a_1 dann separat von der 2_n Reihe?

22.11.2017, 09:13

HAL 9000

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Ja, $\begin{align*} a_1 \end{align*}$ wird davon nicht erfasst, das schreibst du einfach einzeln davor. Für die Frage "Konvergenz/Divergenz" der Reihe, um die es hier beim Verdichtungskriterium ja geht, spielt ein einzelner Wert (oder überhaupt endlich viele Werte) sowieso keine Rolle. Dennoch muss natürlich in einer Ungleichungskette im Beweis alles seine Ordnung haben, das ist richtig.

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