Vektorraum mit Skalarmultiplikation (in Z2)

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22.11.2017, 11:33	Mathemichi98	Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorraum mit Skalarmultiplikation (in Z2) Meine Frage: Sei V eine Menge und +:VxV -> V eine Verknüpfung mit folgenden Eigenschaften: 1)+ ist assoziativ 2)es gibt ein neutrales Element 0 Element V bezüglich + 3)für alle v Element V gilt v+v=0 Zeigen Sie, dass es dann eine Skalatmultiplikation :Z2xV -> V gibt, mit der V zu einem Vektorraum über dem Körper Z2: {0,1} wird. Meine Ideen:* Ich habe mir überlegt, da ja v+v=0, v das Nullelement sein muss und dass dadurch im Z2 Körper egal wie man es multipliziert 0 ergibt und man dadurch eine Skalarmultiplikation durchführen darf. Bin mir aber nicht sicher mit meiner Aussage dass v = 0 ist. Hättet ihr bitte Ansätze für mich Lg Michi
22.11.2017, 11:35	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
v muss nicht 0 sein. 2v=0v ist 0. Das liegt daran, dass 2=0 in Z2 ist und 0v=0 nach den Vektorraumaxiomen gilt.
22.11.2017, 11:54	Mathemichi98	Auf diesen Beitrag antworten »
Re: Stimmt. Und wie muss ich dann anfangen mit dem Beweis. wäre über einen Tipp sehr dankbar.
22.11.2017, 12:40	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Zunächst ist einmal zu klären, ob V eine additive abelsche Gruppe ist. Dann definiert man die Skalarmultiplikation. Die übrigen Vektorraumaxiome sind dann leicht nachzuweisen.
22.11.2017, 13:14	Mathemichi98	Auf diesen Beitrag antworten »
Re Das Problem ist, der Prof hat die abelschen Gruppen noch nicht definiert, also darf ich dies auch nicht benutzen... gibt es noch andere Wege? lg Michi P.S. Danke für die schnellen Antworten
22.11.2017, 14:25	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Es kann nicht sein, dass du nicht weißt, was eine abelsche Gruppe ist. Wenn das so wäre, könntest du nicht wissen, was ein Vektorraum ist. Ein Vektorraum ist eine abelsche Gruppe (V,+) über einem Körper K mit Skalarmultiplikation *:KxV->V. Mach dir nichts daraus, sowas kommt vor. Wir haben eine assoziative Addition mit neutralem Element 0 und wegen v+v=0 hat jedes v ein additiv inverses Element v. Abelsch heißt eine Gruppe, wenn für alle Elemente v,w gilt v+w=w+v. Das musst du beweisen, und dann wie gesagt Skalarmultiplikation definieren und die Vektorraumaxiome nachweisen. (Ich gebe zu, dass ich auch noch nicht weiß, wo man die Kommutativität herbekommt. Vielleicht hat der Aufgabensteller sie einfach nur vergessen ??? Kümmere dich um die Skalarmultiplikation, da hast du erst mal was zu tun. Ich melde mich wieder, wenn ich v und w kommutieren kann. )
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22.11.2017, 15:02	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Also, mein Lineare Algebra Professor hat gesagt Verknüfungen, die mit Plus bezeichnet werden, kommutieren immer. Und wir sollen es nicht wagen diese heilige Konvention zu brechen. Ich vermute mal so wird das hier auch gehandhabt
22.11.2017, 17:42	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Nach 2 Stunden zen-artig demütigen Laubfegens in den Sonnenuntergang hinein befreit sich der Geist von jeder Ungeduld und lässt die Variablen kommutieren ... $\begin{eqnarray} \forall v,w \in V: (v+w)+(v+w)=0=v+v=v+0+v=v+(w+w)+v=(v+w)+(w+v)\Rightarrow v+w=w+v \end{eqnarray}$ Merke: Unterschätze nie deine Professoren, denn sie wissen, was sie tun.
22.11.2017, 17:46	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Sehr schön Elvis. D.h. du benutzt $\begin{eqnarray} v+w \end{eqnarray}$ ist das Inverse zu $\begin{eqnarray} v+w \end{eqnarray}$ , da $\begin{eqnarray} 2(v+w) =0 \end{eqnarray}$ . Und andererseits ist das Inverse auch $\begin{eqnarray} w+ v \end{eqnarray}$ , da $\begin{eqnarray} v + w + w + v =0 \end{eqnarray}$ . Und das Inverse ist eindeutig.
22.11.2017, 18:20	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Noch schöner: $\begin{eqnarray} (v+w)+(v+w)=0 \end{eqnarray}$ nach Voraussetzung 3. Dafür brauche ich die Skalarmultiplikation noch nicht. Also ist jede Gruppe mit 1.)2.)3.) abelsch.
23.11.2017, 09:01	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
@Mathemichi98 Noch ein tipp: es gibt unendlich viele Beispiele für solche Vektorräume, denn alle Körper der Charakteristik 2 haben diese Eigenschaft. Die endlichen Körper $\begin{eqnarray} \mathbb F_{2^n} \end{eqnarray}$ sind $\begin{eqnarray} \mathbb F_2 \end{eqnarray}$ - Vektorräume der Dimension $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ , also isomorph zu $\begin{eqnarray} \mathbb F_2^n \end{eqnarray}$ . Es gibt darüber hinaus auch nichtzyklische abelsche Gruppen, die hier zu $\begin{eqnarray} \mathbb F_2 \end{eqnarray}$ - Vektorräumen werden, z.B. die Kleinsche Vierergruppe. Und noch ganz konkret für dich zum Weitermachen: es gibt nur eine einzige sinnvolle Möglichkeit, die Skalarmultiplikation zu definieren. Der restliche Beweis ist nur noch etwas Fleißarbeit.

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