Untergruppe

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Boggie23 Auf diesen Beitrag antworten »
Untergruppe
Hallo,
es geht darum, nachzuweisen, dass folgende Menge eine Untergruppe ist:

Für sei .
z.z

Das neutrale Element macht mir Probleme:

Es ist (1,0). Aber die Begründung krieg ich nicht hin:
Es muss gelten

Also

Die Begründnung schaut falsch aus. Wie wäre es richtig? verwirrt
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Zeige: (hast du schon, da ) und .
 
 
Boggie23 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke ich würde aber gerne wissen, ob die Begründung für das neutrale Element richtig ist?
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hätte im Kontext der Aufgabe nicht e = (1,0) geschrieben (entweder man schreibt z = a + ib oder z = (a,b)). Und, naja, was genau willst du bezüglich des neutralen Elements begründen? Anscheinend willst du zeigen: z in E => ez in E. Ja, dafür könnte man |ez| = 1 beweisen. Aber andererseits kann man ja schon direkt argumentieren, dass ez = 1z = z = z1 = ze.

Was ich dir im vorherigen Beitrag geschrieben habe, ist gerade das allgemeine Untergruppenkriterium. Bei jeder Aufgabe dieser Art halte dich einfach daran. Ist H eine Teilmenge einer Gruppe G, so ist H genau dann Untergruppe von G, wenn gilt:
1.) H ist nichtleer
2.) a,b in H => ab^{-1} in H

Daraus folgt dann bereits, dass das neutrale Element von G in H enthalten ist und auch weiter in H das neutrale Element bezüglich der von G auf H eingeschränkten Verknüpfung ist.
Boggie23 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von zweiundvierzig
Ich hätte im Kontext der Aufgabe nicht e = (1,0) geschrieben (entweder man schreibt z = a + ib oder z = (a,b)). Und, naja, was genau willst du bezüglich des neutralen Elements begründen? Anscheinend willst du zeigen: z in E => ez in E. Ja, dafür könnte man |ez| = 1 beweisen. Aber andererseits kann man ja schon direkt argumentieren, dass ez = 1z = z = z1 = ze.




Danke, dass ist gut zu wissen. Trotzdem verstehe ich das mit dem neutralen Element noch nicht. Wo kommt der Betrag da ins Spiel. Das was du hast: ez = 1z = z = z1 = ze ist ja ohne.
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, aus ez = z folgt trivialerweise |ez| = |z|, insb. ist mit |z| = 1 auch |ez| = 1.
Boggie23 Auf diesen Beitrag antworten »

Aber nach deiner Notation würde doch (0,1) als neutrales Element in Frage kommen.

Es gilt jedoch (0,1)*(0,1)=(0,-1)

Irgendwas scheine ich falsch zu verstehen? verwirrt
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Würde es nicht, schließlich gilt i.a. nicht iz = z. Es gilt bloß |i| = 1, also liegt i in E, aber es ist nicht das neutrale Element von E.

Edit: In Gruppen ist das neutrale Element übrigens eindeutig bestimmt. Hast du ein neutrales Element gefunden, so kann es kein zweites (davon verschiedenes) geben. Das zu verifizieren ist eine gute Übungsaufgabe.
Boggie23 Auf diesen Beitrag antworten »

Aha gutsmile

Den Beweis wie in meinem 1. Beitrag funktioniert formal wohl so nicht?
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist schon richtig, was du geschrieben hast (wenn man die Schreibweise von (1,0) zu 1 ändert), aber es ist generell unklar, was du eigentlich beweisen willst bzw. warum du vermeintlich e|z| = |z| beweisen wollen würdest. Natürlich ist diese Aussage wahr, denn für alle w in C gilt, dass ew = 1w = w ist (also auch für w := |z|). Was willst du nun also zeigen? Wenn du zeigtest, dass e = 1 in E liegt und ez = z für z in E gilt, dann hättest du schon gezeigt, dass e das neutrale Element in E ist. Mithin gilt also ez in E, da ez dasselbe ist wie z, welches wiederum als in E liegend vorausgesetzt ist. Zu räsonieren, dass dann insbesondere |ez| = 1 gilt halte ich für redundant.
Boggie23 Auf diesen Beitrag antworten »

Aso ok. Ich habe (1,0) geschrieben, da ja z=(a,b) als Paar definiert war. Kriege ich den Beweis auch mit diesem Formalsismus hin?
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du e = (1,0) schreibst, solltest du im selben Atemzug auch z = (a,b) schreiben, anstatt z = a + ib.
Boggie23 Auf diesen Beitrag antworten »

Dann muss ich dann folgendes prüfen|(1,0)*(a,b)| =|(a,b)|=1 so?
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Kann man machen, aber eigentlich benutzt man, wie gesagt folgendes Kriterium:
Zitat:
Original von zweiundvierzig
Zeige: (hast du schon, da ) und .


Du musst ohnehin ja noch Abgeschlossenheit gegenüber Multiplikation und Inversion zeigen. Deine zusätzliche Betrachtung bezüglich des Einselements ist redundant.
Boggie23 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Abgeschlossenheit und das Inverse habe ich schon gezeigt. Ich weis auch jetzt, dass man lieber deine Definition bemutzen sollte, aber es muss doch auch so funktionieren und das mit dem neutralen Element verstehe ich irgendwie nicht
Du hast weiter oben geschrieben:

Ja, dafür könnte man |ez| = 1 beweisen. Aber andererseits kann man ja schon direkt argumentieren, dass ez = 1z = z = z1 = ze.
Wieso ist denn dann das neutrale Element nicht (1,0). Ich hätte gedacht dass es Paare sein müssen?
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Entweder man schreibt ez = (1,0)*(a,b) = ... oder ez = 1*(a+ib) = ...

Als R-Vektorraum ist C isomorph zu R^2, aber fürs konkrete Rechnen ist die zweite Darstellung, z = a + ib, wesentlich üblicher.
Boggie23 Auf diesen Beitrag antworten »

D.h im 2. Fall wäre das neutrale Element einfach 1.
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Genau.
Boggie23 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hätte noch eine Frage, wenn man neutrales Element e=i wäre, dann müsste doch gelten:



Wo ist der Fehler?
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Natürlich gilt . Dennoch ist .
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