Euler-Lagrange-Differentialgleichung lösen

23.11.2017, 11:45

Mydreams

Euler-Lagrange-Differentialgleichung lösen

Ich hab mich, um ein bestimmtes Problem zu lösen ein bisschen mit Variationsrechnung befasst. Wegen meinen fehlenden Kentnissen in der höheren Mathematik habe ich die meisten Beweise und Herleitungen einfach hingenommen, ohne sie gründlich zu verstehen. Falls ich aber die allgemeine Idee richtig verstanden habe, muss ich einfach nur die Euler-Lagrage-Gleichung anwenden, um meine minimale oder maximale Funktion zu finden.

Ich habe dann versucht, ein Problem mit diesem Wissen zu lösen. Das Problem ist die Kurvenfunktion eines an zwei Punkten hängendes Seil zu finden (zu dem ich schon eine Frage verfasst hatte).
Um die potentielle Energie zu minimieren habe ich die Fläche unter der Seil-Funktion l(x) minimiert mit
$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b} \! l(x) \, dx = min. \end{eqnarray*}$
Und die Länge des Seiles mit der Funktion beschrieben:
$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b} \! \sqrt{1 + (l'(x))^{2} } \, dx = s = const. \end{eqnarray*}$
Da ich sagen kann
$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b} \! f(x) \, dx = min. \Rightarrow k + \int_{a}^{b} \! f(x) \, dx = min. \end{eqnarray*}$
Kann ich sagen
$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b} \! l(x) + \sqrt{1 + (l'(x))^{2} } \, dx = min. \end{eqnarray*}$
Und das führt mich mit der EL-Gleichung zu der Differentialgleichung
$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx} (\frac{l'(x)}{\sqrt{1 + (l'(x))^{2}} } ) - 1 = 0 \end{eqnarray*}$ (wenn ich mich nicht irre)
Jetzt kann ich aber diese DG nicht lösen. Kann mir jemand weiterhelfen, bzw. habe ich etwas grundlegend falsch verstanden?

23.11.2017, 13:32

mYthos

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RE: Euler-Lagrange-Differentialgleichung lösen
Angenommen, die Diffgl. ist richtig:
Addiere 1 und integriere beide Seiten nach x:

$\begin{eqnarray*} \frac{l'(x)}{\sqrt{1 + (l'(x))^{2}} } = x + c_1 \end{eqnarray*}$ [Setze c1 zunächst 0]

$\begin{eqnarray*} l'(x)^2 = x^2 + x^2l'(x)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} l'(x)^2 = \frac{x^2}{1-x^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} l'(x) = \frac x {\sqrt{1-x^2}} \end{eqnarray*}$

Jetzt wieder integrieren

$\begin{eqnarray*} l(x) = -\sqrt{1-x^2}+ c_2 \end{eqnarray*}$
------------

Beziehen wir jetzt auch c1 (von oben) ein, ist

$\begin{eqnarray*} l'(x) = \frac {x+c_1} {\sqrt{1-(c+c_1)^2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} l(x) = -\sqrt{1-(x+c_1)^2}+ c_2 \end{eqnarray*}$

mY+

23.11.2017, 13:58

IfindU

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RE: Euler-Lagrange-Differentialgleichung lösen

Zitat:

Original von Mydreams
$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b} \! l(x) + \sqrt{1 + (l'(x))^{2} } \, dx = min. \end{eqnarray*}$
Und das führt mich mit der EL-Gleichung zu der Differentialgleichung
$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx} (\frac{l'(x)}{\sqrt{1 + (l'(x))^{2}} } ) - 1 = 0 \end{eqnarray*}$ (wenn ich mich nicht irre)

Wenigstens der Schritt scheint falsch zu sein. Es müsste $\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx} (\frac{l'(x)}{\sqrt{1 + (l'(x))^{2}} } ) - l(x) = 0 \end{eqnarray*}$ heissen.

23.11.2017, 14:16

Mydreams

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@mYthos
Aha, daran hatte ich nicht gedacht. Danke!

@IfindU
Wieso? Die EL-Gl. lautet

$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx} \frac{d}{dl'(x)} F(l;l') - \frac{d}{dl(x)} F(l;l') = 0 \end{eqnarray*}$

(ich hab das Zeichen für partielles Differential nicht gefunden)
Und ich hab mir ausgerechnet, dass

$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dl(x)}( l(x) + \sqrt{1 + (l'(x))^{2}} )= 1+0 = 1 \end{eqnarray*}$

Ich sehe den Fehler nicht

23.11.2017, 14:25

IfindU

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Entschuldige. Da habe ich mich vertan. Forum Kloppe

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