Tschebyscheff-Ungleichung, obere Schranke

23.11.2017, 12:04

derkerl97

Zusatz

Meine Frage:
Hallo Leute,

meine Aufgabe lautet:

"Für eine Partei ist bekannt, dass sie in der Wählergunst zwischen 25% und 35% liegt. Der Parteichef will bei der anstrebenden Wahl nur dann als Spitzenkandidatin antreten, wenn ihre Partei mit mindestens 30% der Stimmen (aller Wahlberechtigten) rechnen kann. Um genauer zu ermitteln, wie populär ihre Partei ist, lässt sie eine Umfrage durchführen, bei der eine repräsentative Auswahl an Personen nach ihrem voraussichtlichen Abstimmungsverhalten gefragt wird. Von Interesse ist dabei, wie groß die Anzahl n der Teilnehmer an der Umfrage mindestens sein muss, damit die relative Häufigkeit an Stimmen für die Partei bei der Umfrage mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95% um weniger als 1% von der Wählergunst abweicht."

Bestimmen Sie unter Benutzung der Tschebyscheff-Ungleichung eine möglichst kleine obere Schranke für n.

Meine Ideen:

Nun bin ich wie folgt vorgegangen:

Zufallsvariable X := Umfrageergebnis (binomialverteilt)
E(X) = n*p (Wählergunst)
Var(X) = n*p*(1-p)
k = 0,01 (1% Abweichung)
0,25 < p < 0,35 bzw. p soll ja mind. 30% sein, also 0,3 <= p <= 0,35

P(|X-E(X)| < k) => 1 - Var(X)/k^2 <= 5% = 0,05

P(|X-E(X)| < 0,01) => 1 - (n*p*(1-p)/0,01^2) <= 0,05

1 - (n*p*(1-p)/0,01^2) <= 0,05

1 - (n*0,3*0,7/0,0001) <= 0,05

1 - 2100n <= 0,05

0,05 <= 2100n

0.000238 <= n

Das kann ja nicht annähernd richtig sein, deswegen bitte ich um Rat/Hilfe, danke!

Willkommen im Matheboard!
Ich habe Deine Beiträge zusammengefasst, damit es nicht so aussieht, als ob schon jemand antwortet.
Viele Grüße
Steffen

23.11.2017, 12:58

HAL 9000

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Da sind gleich mehrere Fehler drin. Das Umfrageergebnis $\begin{align*} X \end{align*}$ mag binomialverteilt sein, der daraus geschätze Stimmenanteil ist aber $\begin{align*} \hat{p}=\frac{X}{n} \end{align*}$ mit Erwartungswert $\begin{align*} E(\hat{p})=p \end{align*}$ . Dementsprechend ist Tschebyscheff auf $\begin{align*} \hat{p} \end{align*}$ statt auf $\begin{align*} X \end{align*}$ anzuwenden, dabei ist $\begin{align*} V(\hat{p}) = \frac{1}{n^2}V(X) = \frac{p(1-p)}{n} \end{align*}$ . Der Ansatz lautet also

$\begin{align*} P(\left| \hat{p}- p\right| \geq 0.01) \leq \frac{V(\hat{p})}{0.01^2} = \frac{10000p(1-p)}{n} \stackrel{!}{\leq} 0.05 \end{align*}$ .

Der worst-case im Intervall $\begin{align*} p\in [0.25,0.35] \end{align*}$ hinsichtlich Schätzvarianz liegt dabei bei $\begin{align*} p=0.35 \end{align*}$ .

Zitat:

Original von derkerl97
Der Parteichef will bei der anstrebenden Wahl nur dann als Spitzenkandidatin antreten

Gendertechnisch interessant: Was wohl Vati Merkel dazu sagen würde? Big Laugh

23.11.2017, 13:22

derkerl97

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Zitat:

Original von HAL 9000
Da sind gleich mehrere Fehler drin. Das Umfrageergebnis $\begin{align*} X \end{align*}$ mag binomialverteilt sein, der daraus geschätze Stimmenanteil ist aber $\begin{align*} \hat{p}=\frac{X}{n} \end{align*}$ mit Erwartungswert $\begin{align*} E(\hat{p})=p \end{align*}$ . Dementsprechend ist Tschebyscheff auf $\begin{align*} \hat{p} \end{align*}$ statt auf $\begin{align*} X \end{align*}$ anzuwenden, dabei ist $\begin{align*} V(\hat{p}) = \frac{1}{n^2}V(X) = \frac{p(1-p)}{n} \end{align*}$ . Der Ansatz lautet also

$\begin{align*} P(\left| \hat{p}- p\right| \geq 0.01) \leq \frac{V(\hat{p})}{0.01^2} = \frac{10000p(1-p)}{n} \stackrel{!}{\leq} 0.05 \end{align*}$ .

Okay danke, hab eigentlich alles verstanden bis auf das >= 0,01
Müsste man nicht die komplementäre Variante der Tschebyscheff-Ungleichung nutzen, da die Abweichung UNTER 1% liegen soll?

Zitat:

Original von HAL 9000
Der worst-case im Intervall $\begin{align*} p\in [0.25,0.35] \end{align*}$ hinsichtlich Schätzvarianz liegt dabei bei $\begin{align*} p=0.35 \end{align*}$ .

Da ich eine möglichst kleine obere Schranke wählen soll, muss ich trotzdem mit p=0,30 rechnen oder?
Die berechnete Schranke mit p=0,35 wäre nämlich größer als die mit p=0,30.
mit p=0,30 : 42000 <= n
mit p=0,35 : 45500 <= n

Zitat:

Gendertechnisch interessant: Was wohl Vati Merkel dazu sagen würde? Big Laugh

Ach oops

23.11.2017, 14:05

HAL 9000

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Zitat:

Original von derkerl97
Müsste man nicht die komplementäre Variante der Tschebyscheff-Ungleichung nutzen, da die Abweichung UNTER 1% liegen soll?

Mitdenken! "Wahrscheinlichkeit 95% für UNTER 1%" entspricht "Wahrscheinlichkeit 5% für ÜBER 1%".

Zitat:

Original von derkerl97
Die berechnete Schranke mit p=0,35 wäre nämlich größer als die mit p=0,30.

Ja klar, deswegen ja auch worst-case: Es ist eine Anzahl anzugeben, die in allen in Frage kommenden Fällen (auch den ungünstigsten) die geforderte Genauigkeit 1% liefert.

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