Reihen Verständnis-Problem

23.11.2017, 15:18

Snexx_Math

Reihen Verständnis-Problem

Hallo,

Folgendes Problem beschäftigt mich seit der heutigen Vorlesung:

Ich verstehe nicht warum :

Die harmonische Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty } \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ divergiert. (Der Beweis warum sie divergiert ist mir verständlich)

ABER dann ...

Die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty } \frac{1}{k^{2}} \end{eqnarray*}$ konvergiert. (Verstehe hierbei auch nicht den Beweis der Vorlesung)

Bitte dringend um Hilfe.

LG

Snexx_Math

23.11.2017, 15:21

klarsoweit

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RE: Reihen Verständnis-Problem
Ich kenne ja nicht den Beweis aus der Vorlesung, aber prinzipiell würde ich so vorgehen:

Für k >=2 ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k^2} \leq \frac{1}{k^2-k} = \frac{1}{k-1} - \frac 1 k \end{eqnarray*}$

Wenn du nun mal die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^n (\frac{1}{k-1} - \frac 1 k) \end{eqnarray*}$ aufschreibst, wirst du sehen, daß diese gleich $\begin{eqnarray*} 1 - \frac 1 n \end{eqnarray*}$ ist. Stichwort: Teleskopsumme. Augenzwinkern

23.11.2017, 15:52

Snexx_Math

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RE: Reihen Verständnis-Problem
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{k^2-k} = \frac{1}{k-1} - \frac 1 k \end{eqnarray*}$

Das sieht mir sehr nach Partialbruchzerlegung aus. Leider habe ich sowas nie in der Schule gelernt und
bisher auch keine Zeit gehabt mir dies selbstständig zu erarbeiten , ich weiß daher aus einem Beispiel der Vorlesung, dass man $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k^2-k} = \frac{1}{k-1} - \frac 1 k \end{eqnarray*}$ machen kann, allerdings ist mir nicht bewusst warum.

Zudem muss ich zugeben, den Begriff Teleskopsumme nicht verstanden zu haben.

Trotz alldem versuche ich mal die Vorlesung darzustellen:

Beweis: für $\begin{eqnarray*} n < 2^{m+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} S_n = \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{k^{2}} \leq \sum\limits_{k=1}^{2^{m+1}} \frac{1}{k^{2}} = \frac{1}{1^{2}} + ( \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} )+ ( \frac{1}{4^{2}} + ....+ \frac{1}{7^{2}} ) + ( \frac{1}{2^{m}} + ... + \frac{1}{2^{m+1}-1} ) = \sum\limits_{j=0}^{m} \sum\limits_{k=2^{j}}^{2^{j+1}-1} \frac{1}{k^{2}} \end{eqnarray*}$ Hier verstehe ich bereits nicht die Summe der Summe am Ende.

Weiter geht es mit :

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2^{j}}^{2^{j+1}-1} \frac{1}{k^{2}} \leq \sum\limits_{k=2^{j}}^{2^{j}-1} \frac{1}{(2^{j})^{2}} & (k\geq 2^{j} & \Rightarrow k^{2}\geq (2^{j})^{2} \Rightarrow \frac{1}{k^{2}} \leq \frac{1}{(2^{j})^{2}} ) \Rightarrow 2^{j} * \frac{1}{(2^{j})^{2}} = \frac{1}{(2^{j})} \Rightarrow S_n\leq \sum\limits_{j=0}^{m} \frac{1}{2^{j}} = \sum\limits_{j=0}^{\infty } ( \frac{1}{2})^{j} = \frac{1}{1-\frac{1}{2}} =2 \end{eqnarray*}$

Der letze Schritt ist anhand der geometrischen Reihe begründet, allerdings verstehe ich diverse Summenzeichen eher schlecht als recht und frage mich warum man plötzlich $\begin{eqnarray*} 2^{j} * \frac{1}{(2^{j})^{2}} \end{eqnarray*}$ rechnet.

LG Snexx_Math smile

23.11.2017, 15:59

Snexx_Math

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RE: Reihen Verständnis-Problem
Ohh , mir fällt gerade auf , dass man auf :

"Für k >=2 ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k^2} \leq \frac{1}{k^2-k} = \frac{1}{k-1} - \frac 1 k \end{eqnarray*}$

Wenn du nun mal die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^n (\frac{1}{k-1} - \frac 1 k) \end{eqnarray*}$ aufschreibst, wirst du sehen, daß diese gleich $\begin{eqnarray*} 1 - \frac 1 n \end{eqnarray*}$ ist. Stichwort: Teleskopsumme. "

das Majorantenkriterium anwenden kann , also folgt aus der Konvergenz von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k^{2}-k} \Rightarrow \frac{1}{k^{2}} & konvergiert \end{eqnarray*}$

23.11.2017, 16:02

HAL 9000

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@Snexx_Math

Kann es sein, dass ihr gerade in der Vorlesung das Verdichtungskriterium behandelt habt? Andernfalls ist irgendwie schwer zu erklären, warum du diese überkomplizierte Technik mit diesen Reihenabschnitten in Zweierpotenzlänge, die bei der harmonischen Reihe noch ganz hilfreich war, nun dieser anderen Reihe "überhilfst": Mit klarsoweits Erläuterungen ist ja die Konvergenz bereits hinreichend begründet. Aber so wie es aussieht willst du es auch nochmal mit eben jenem Verdichtungskriterium beweisen. verwirrt

23.11.2017, 16:05

Snexx_Math

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Also erstmal ja : Ich habe Klarsoweit's Hilfestellung bzw. den Beweis für die Konvergenz verstanden.

Allerdings muss ich zugeben, dass ich es auch gerne verstehen würde so wie es in der Vorlesung gemacht wurde.

Ist das Verdichtungskriterium zufälligerweise auch das Cauchysche Konvergenzkriterium ? Weil den Begriff "Verdichtungskriterium" hatten wir so nicht.

LG Snexx_Math

23.11.2017, 16:07

klarsoweit

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RE: Reihen Verständnis-Problem

Zitat:

Original von Snexx_Math
ich weiß daher aus einem Beispiel der Vorlesung, dass man $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k^2-k} = \frac{1}{k-1} - \frac 1 k \end{eqnarray*}$ machen kann, allerdings ist mir nicht bewusst warum.

Dann rechne doch mal die Gleichung rückwärts.

Zitat:

Original von Snexx_Math
$\begin{eqnarray*} S_n = \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{k^{2}} \leq \sum\limits_{k=1}^{2^{m+1}} \frac{1}{k^{2}} = \frac{1}{1^{2}} + ( \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} )+ ( \frac{1}{4^{2}} + ....+ \frac{1}{7^{2}} ) + ( \frac{1}{2^{m}} + ... + \frac{1}{2^{m+1}-1} ) = \sum\limits_{j=0}^{m} \sum\limits_{k=2^{j}}^{2^{j+1}-1} \frac{1}{k^{2}} \end{eqnarray*}$ Hier verstehe ich bereits nicht die Summe der Summe am Ende.

Hier wurden die einzelnen Summen in den Klammern als Summe mit Summenzeichen geschrieben. Die einzelnen Klammern müssen dann wiederum summiert werden

Zitat:

Original von Snexx_Math
Weiter geht es mit :

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2^{j}}^{2^{j+1}-1} \frac{1}{k^{2}} \leq \sum\limits_{k=2^{j}}^{2^{j}-1} \frac{1}{(2^{j})^{2}} & (k\geq 2^{j} & \Rightarrow k^{2}\geq (2^{j})^{2} \Rightarrow \frac{1}{k^{2}} \leq \frac{1}{(2^{j})^{2}} ) \Rightarrow 2^{j} * \frac{1}{(2^{j})^{2}} = \frac{1}{(2^{j})} \Rightarrow S_n\leq \sum\limits_{j=0}^{m} \frac{1}{2^{j}} = \sum\limits_{j=0}^{\infty } ( \frac{1}{2})^{j} = \frac{1}{1-\frac{1}{2}} =2 \end{eqnarray*}$

Der letze Schritt ist anhand der geometrischen Reihe begründet, allerdings verstehe ich diverse Summenzeichen eher schlecht als recht und frage mich warum man plötzlich $\begin{eqnarray*} 2^{j} * \frac{1}{(2^{j})^{2}} \end{eqnarray*}$ rechnet.

Bei $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2^j}^{2^{j+1}-1} \frac{1}{k^2} \leq \sum\limits_{k=2^j}^{2^{j+1}-1} \frac{1}{(2^j)^2} \end{eqnarray*}$ hat man nun rechts eine Summe mit konstanten Summanden. Daher ist:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2^j}^{2^{j+1}-1} \frac{1}{(2^j)^2} = (2^{j+1} - 1 - 2^j + 1) \cdot \frac{1}{(2^j)^2} = 2^j \cdot \frac{1}{(2^j)^2} \end{eqnarray*}$

23.11.2017, 16:14

Snexx_Math

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RE: Reihen Verständnis-Problem
DANKE ! smile

Eine letzte Sache ist mir allerdings unklar: (Sry stehe iwie auf dem Schlauch)

Bei $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2^j}^{2^{j+1}-1} \frac{1}{k^2} \leq \sum\limits_{k=2^j}^{2^{j+1}-1} \frac{1}{(2^j)^2} \end{eqnarray*}$ hat man nun rechts eine Summe mit konstanten Summanden. Daher ist:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2^j}^{2^{j+1}-1} \frac{1}{(2^j)^2} = (2^{j+1} - 1 - 2^j + 1) \end{eqnarray*}$

ICh verstehe nicht inwiefern dies konstant ist und warum $\begin{eqnarray*} (2^{j+1} - 1 - 2^j + 1) \end{eqnarray*}$ herauskommt ab dann ist mir wieder alles klar.

LG

Snexx_Math smile

23.11.2017, 16:53

klarsoweit

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RE: Reihen Verständnis-Problem
Der Summand 1/(2^j)^2 ist immer gleich, weil er unabhängig vom Laufindex k ist. Und nun zähle Mal die Anzahl der Summanden.

23.11.2017, 16:58

Snexx_Math

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RE: Reihen Verständnis-Problem
Achso deswegen ist die Summe "konstant" , hatte mich schon gewundert, dass man garkein k einsetzen kann.

"Und nun zähle Mal die Anzahl der Summanden. "

Da kommen wir schon zum nächsten und letzten Problem. Mir fällt das auch bei einfacheren Summen schon schwer die Anzahl der Summanden zu erkennen, aber hier jetzt ganz besonders. Im Prinzip ist die Anzahl der Summanden ja der "Abstand" von der unteren zur oberen Grenze aber wie das bei $\begin{eqnarray*} 2{^j} \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} 2^{j+1}-1 \end{eqnarray*}$ aussieht, fällt mir schwer zu erkennen.

Man weiß ja nicht was j ist und das dann in Abhängigkeit vom j anzugeben scheint mir unklar.

23.11.2017, 17:17

Snexx_Math

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RE: Reihen Verständnis-Problem
ok habs jetzt :

wenn die untere grenze nicht 0 oder 1 ist, dann berechnet man den Abstand der Grenzen, indem man die obere Grenze - untere Grenze +1 rechnet , warum hab ich jetzt zwar nicht ganz verstanden aber es ist so Big Laugh

also in dem Fall : $\begin{eqnarray*} (2^{j+1} - 1 - 2^j + 1) \end{eqnarray*}$ und dann kann man kürzen und umformen, so dass $\begin{eqnarray*} 2^{j} \end{eqnarray*}$ da steht.

LG und danke für alles !!! smile

Snexx_Math

23.11.2017, 17:38

klarsoweit

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RE: Reihen Verständnis-Problem

Zitat:

Original von Snexx_Math
warum hab ich jetzt zwar nicht ganz verstanden aber es ist so Big Laugh

Da hilft einfaches Abzählen. Und dabei ist es egal, welchen Wert die untere Grenze hat. Die kann auch 0 oder 1 sein. Augenzwinkern

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