Wahrscheinlichkeitsfunktion: Kartenspiel

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sophox Auf diesen Beitrag antworten »
Wahrscheinlichkeitsfunktion: Kartenspiel
Meine Frage:
Wir spielen folgendes Kartenspiel:
Es werden 5 Karten mit den Werten 1,2,3,4,5 an 5 Spieler verteilt, jeder erhält eine Karte. Es gewinnt derjenige mit der höherwertigen Karte.
Zuerst spielt Spieler 1 gegen Spieler 2. Wenn
Spieler 1 gewinnt, spielt er danach gegen Spieler 3, sonst scheidet er aus. Wenn Spieler 1 gegen Spieler 3 gewinnt, spielt er danach gegen Spieler 4, sonst scheidet er aus. Wenn Spieler 1 gegen Spieler 4 gewinnt spielt er schließlich noch gegen Spieler 5.
Sei X die Anzahl der Spiele, die Spieler 1 gewinnt. Zu bestimmen ist die Wahrscheinlichkeitsfunktion von X und der Erwartungswert.

Meine Ideen:
Die Wahrscheinlichkeit, dass Spieler 1 ein Spiel gewinnt ist:

P(1) = 4! / 5! = 1/5
Die Wahrscheinlichkeit, dass Spieler 1 zwei Spiele gewinnt ist:
P(2) = 3! / 4! = 1/4
usw.
P(3) = ... = 1/3
P(4) = ... = 1/2

Vielleicht kann mir jemand sagen, ob dieser Ansatz schonmal halbwegs stimmt : )
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi sophox,

Addiere mal alle von dir berechneten Wahrscheinlichkeiten (!). Dann kannst du die Frage, ob das stimmen kann, selber beantworten Augenzwinkern

Geheimtipp: Baumdiagramm.

Grüße
sibelius84
sophox Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe es mal mit dem Baum probiert.

Und erhalte nun für
P(1) = 0.5
P(2) = 0.166...
P(3) = 0.04166...
P(4) = 0.00833...

Denn als erstes habe ich die W'keit 1/5 eine der Karten zu ziehen.
Ziehe ich die Karte mit dem Wert 2, bleibt nur noch die günstige Möglichkeit, dass der Gegner eine 1 hat.
Ziehe ich eine Karte mit dem Wert 3, habe ich 2 günstige Möglichkeiten, usw.
Also ergibt P(1) = 10 * 1/5 * 1/4 = 1/2 ?
P(2) = 10 * 1/5 * 1/4 * 1/3 = 0.16666...
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Es sollte wohl gelten, denn der Spieler gewinnt genau dann vier mal, wenn er die Karte 5 auf der Hand hält und dafür ist die Wahrscheinlichkeit eben ein Fünftel.

Die Aufgabe ist durchaus etwas knifflig. Man kann etwas Licht ins Dunkel bringen, indem man als erste Stufe des Baumdiagramms die Verteilung der Karten wählt und hier als Ergebnisse die Karte, die Spieler 1 auf der Hand hält: 1, 2, 3, 4, 5 mit Wahrscheinlichkeit jeweils . Wenn man dann die Hintergrundinfo hat, welche Karte er hat, dann überlegt es sich schon viel einfacher.
sophox Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, ja macht auf jeden Fall Sinn und ich sehe auch, warum mein Ansatz falsch war. Wie mache ich aber weiter mit dem Baumdiagramm nach der ersten Stufe?
sophox Auf diesen Beitrag antworten »

Ich komme nun auf ein Ergebnis, das schon realistischer wirkt...vielleicht kann mir jemand sagen, ob das passt : ) (siehe Anhang)
 
 
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Die zweite Stufe ist das Spiel gegen Spieler 2, ..., und die fünfte das gegen Spieler 5. Die möglichen Zweige sind jeweils: Gewinn oder Verlust.

Beim Verlust ist ja der Durchgang beendet und du kannst den Wert der Zufallsvariablen X angeben. (Bspw.: in Spiel gegen Spieler 3 verloren => X=1, denn dies setzt ja voraus, dass man gegen Spieler 2 gewonnen hat).

Beim Gewinn ist es nicht so eindeutig. Entweder es ergeben sich weitere Verzweigungen (zB Gewinn gegen Spieler 2 mit einer Karte >= 3), oder nicht (zB Gewinn gegen Spieler 2 mit Karte 2 => Spieler 1 muss Karte 1 gehabt haben => in der nächsten Runde wird man so oder so verlieren => der Wert von X liegt dann auch hier bereits fest mit X=1).

Wenn du dir die Möglichkeiten für X=0, ..., 3 systematisch an die Blätter / Enden deines Baumdiagramms dranschreibst, kannst du nachher zB P(X=0) nach dem üblichen Schema berechnen (günstige Pfade markieren bzw. ausgucken, entlang der Pfade multiplizieren, die erhaltenen Pfadwahrscheinlichkeiten addieren). Ist etwas Arbeit, aber man kriegt's hin.
Deine Überlegung vom Anfang, dass P(X=0) = 0,5 gelten muss, war übrigens richtig. Das kannst du als Plausibilitätstest für dein Baumdiagramm verwenden: Wenn für P(X=0) etwas anderes herauskommt als 0,5, muss irgendwo ein Fehler liegen.
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