Vektoren bestimmen, die sich nicht als Linearkombination darstellen lassen |
| 23.11.2017, 22:42 | user425 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Vektoren bestimmen, die sich nicht als Linearkombination darstellen lassen Irgendwas mit Kreuzprodukt ? x1 x x2 * l??? Könnt ihr mir bitte ein Beispiel geben? Danke 
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| 24.11.2017, 00:06 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Im Zusammenhang mit dem zweiten Teil der Aufgabe wäre es sinnvoller gewesen, die Vektoren als Zeilenvektoren zu schreiben. Der Gauß-Algorithmus entspricht dann dem bilden von Linearkombinationen auf der Linearen Hülle dieser Vektoren. Das Endergebnis zeigt Dir dann eine einfache Basis des Raums mit deren Hilfe Du einfach erkennen kannst, welche Vektoren nicht in der Hülle sein können. |
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| 24.11.2017, 09:15 | user425 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Soll ich also Kreuzprodukt von jeweils 2 der Vektoren bilden und den dritten dann einsetzen, um das zu prüfen? |
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| 24.11.2017, 09:20 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein, du sollst das tun, was Helferlein gesagt hat: schreibe die Vektoren zeilenweise in eine Matrix und führe den Gauß-Algorithmus (am besten ohne Zeilenvertauschungen) durch. Dann siehst du, was eine Basis ist und welche Vektoren sich durch die anderen darstellen lassen.
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| 24.11.2017, 09:32 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ein Wort zu dem Vorschlag "Kreuzprodukt" Sofern das Kreuzprodukt ungleich Nullvektor ist (Nullvektor als Ergebnis passiert, wenn bereits die beiden ausgewählten Vektoren linear abhängig sind!), dann ist dieser Ergebnisvektor tatsächlich einer, der sich nicht als Linearkombination der beiden darstellen lässt, und wegen der linearen Abhängigkeit der drei Ausgangsvektoren dann auch nicht als Linearkombination aller drei. Allerdings ist dieser Weg sehr starr an die hier vorgegebenen Rahmenbedingungen gebunden: mit zwei verfügbaren linear unabhängigen Vektoren. Jegliche Übertragung auf andere Dimensionen ist ausgeschlossen. Somit nett zu wissen, aber nicht sehr wertvoll für andere ähnlich gelagerte Aufgaben. |
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| 24.11.2017, 13:31 | user425 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
der ist doch linear unabhängig... Bzw. wie soll ich jetzt bezogen auf dem zweiten Teil der Aufgabe vorgehen? |
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| 24.11.2017, 13:32 | user425 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Aber , ich dachte ich musste für den ersten Teil der Aufgebe den Gauß Algorithmus lösen.... Wie soll ich jetzt vorgehen? Meine Brille ist leider verschmutzt xDDD (auch wenn ich keine habe) |
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| 24.11.2017, 13:45 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wer ist linear unabhängig?
Wenn du die Vektoren zeilenweise in die Matrix schreibst und dann den Gauß-Algorithmus durchführst, dann erledigst du damit beide Aufgaben mit einer Rechnung. (OK, man kann auch durch bloßes Hingucken darauf kommen, daß der 3. Vektor die Summe von dem halben 1. Vektor und von dem halben 2. Vektor ist. 
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| 24.11.2017, 14:48 | user425 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich hab das doch in den Gauß Algorithmus geschrieben xD |
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| 24.11.2017, 17:30 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wie wäre es denn, wenn Du einfach mal versuchen würdest meinen Hinweis von oben zu befolgen und die Vektoren als Zeilenvektoren und nicht als Spaltenvektoren aufzuschreiben? Du hast mit deinem Ansatz das LGS gelöst und dabei herausgefunden, dass es nicht eindeutig lösbar ist. Das bedingt die Abhängigkeit der drei Vektoren. Wenn Du aber stattdessen die Matrix mit Gauß bearbeitest, erhältst Du oben erwähnte Basis des von den drei Vektoren erzeugten Unterraums. |
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| 24.11.2017, 19:10 | user425 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das mit dem Gauß war doch bezogen auf den ersten Teil der Aufgabe... Habe ich die etwa auch falsch gemacht oder war das bezogen auf die zweite Aufgabe? 
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| 24.11.2017, 19:35 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Na schön, wenn Du partout nicht meinem Vorschlag folgen willst, dann eben auf deinem Weg: Du musst dafür sorgen, dass keine Lösung besitzt. Das geht wiederum mit Gauß und geeigneten Schlußfolgerungen aus der ersten Aufgabe und der letzten Zeile der Matrix in der Stufenform. Ist aber weitaus umständlicher als der Vorschlag von oben
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| 24.11.2017, 20:11 | user425 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich meinte nur, dass ich deinen Vorschlag nicht so verstanden habe ):.. kannst du den ersten Vorschlag bitte auch so wie den 2 darstellen? 
Ich hab nur nicht verstanden wie ich da vorgehen soll (Verständnisproblem ): ) Nehmen wir mal an man macht es so zeilenweise, wie die Vektoren beschriftet sind, wie würde man bei der Aufgabe 2 den einen Vektor herausfinden, der keine LK ist..? |
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| 24.11.2017, 21:05 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Durch scharfes hingucken ;-) Bei Vorschlag 1 bringst Du die Matrix in Zeilenstufenform und liest dann einfach einen fehlenden Vektor ab. |
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| 24.11.2017, 21:22 | user425 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Sry, wenn ich nachfrage, aber , soll ich einen neuen Vektor konstrurieren??? z.B. (1|3|-1)? Oder soll ich einen bestehenden Vektor ablesen?? Sry, dass ich so dumm nachfrage , aber ich will es nur genau wissen. |
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| 24.11.2017, 21:26 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Zeig am besten erst einmal deine Zeilenstufenform, dann reden wir über das Ablesen. Falls Du selber grübeln möchtest: Er muss linear unabhängig von den ersten beiden Zeilen der Zeilenstufenform sein. |
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| 24.11.2017, 22:10 | user425 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
[1 -1 3] [0 4 -4] [0 0 0] Hab diese Matrix umgeformt , die du mir vorgegeben hast, und jetzt?
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| 24.11.2017, 22:42 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Welcher Vektor könnte linear unabhängig von sein, sich also von diesen beiden nicht kombinieren lassen? |
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| 24.11.2017, 23:12 | user425 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Kannst du mir ein Tipp geben, wie man den findet?? Sry, dass ich dich mittlerweile nerve ): Ermittelt man es damit k1v1+k2v2+k3v3→=0k1v1+k2v2+k3v3→=0 |
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| 25.11.2017, 01:02 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Viel zu kompliziert (und noch dazu unleserlich). Denk mal an die drei Einheitsvektoren. Könnte einer davon (oder vielleicht auch mehrere) linear unabhängig von den beiden hier erwähnten Vektoren sein? |
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| 25.11.2017, 11:34 | user425 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Mit den drei Einheitsvektoren meinst du wohl (1|-1|3),(1|3-1),(1|1|1) 0|4|-4 könnte dann unabhängig von dem Vektor (1|1|1) sein. Aber ich glaube, ich liege wieder damit falsch ): |
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| 25.11.2017, 14:19 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das sind alle keine Einheitsvektoren. Gemeint sind (1; 0; 0), (0; 1; 0) oder (0; 0; 1). Teste mal mit einem von diesen ... Übrigens ist der (0; 4; -4) gleichbedeutend mit (0; 1; -1), er ist ja nur das 4-fache davon, also darfst letzteren nicht nehmen. mY+ |
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| 25.11.2017, 14:27 | user425 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
(0|4|-4)*(1|0|0) = 0 Zu 1 1 3 passt leider kein Einheitsvektor , nur zu 0 4 -4 , oder??? Kann sein, dass ich wieder komplett falsch liege 
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| 25.11.2017, 14:40 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wozu die skalare Multiplikation? Diese ist bei Untersuchung auf lin. Unabhängigkeit nicht zielführend. Der dritte Vektor ist so zu bestimmen, dass er erstens NICHT Vielfache der anderen beiden ist und zweitens, dass er auch nicht durch Linearkombination aus ihnen hervorgeht*. Nütze doch den Tipp und nimm einen der drei Einheitsvektoren. Wie wäre es mit (1 | 1 | 0) ? Kannst du das abtesten? Wenn ja, wie? (*) Ein Schnelltest ist, dass auch keine Addition oder Subraktion zum 3. Vektor führt. Danach bist eh schon bei der Linearkombination. mY+ |
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| 25.11.2017, 17:43 | user425 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
1 -1 3 * 1 1 0 = 1-1= 0 Ist der also linear unabhängig??
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| 25.11.2017, 18:36 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Warum bildest du das Skalarprodukt von zwei Vektoren? Dieses zeigt zwar, dass die beiden orthogonal sind, dies garantiert aber dennoch nicht, dass dieser ausgerechnet mit dem dritten keine Abhängigkeit hat. Was du allerdings machen kannst, ist so: Die beiden (1 | -1 | 3) und (0 |4 | - 4) sind schon mal l.unabh. und - wichtig! - nicht aufeinander senkrecht. Ein dritter Vektor, der zu dem ersten normal ist, ist dann garantiert l. unabh. von den anderen beiden. -------- Deswegen ist (1 | 1 | 0) tatsächlich eine Möglichkeit. Allerdings würde (1 | 0 | 0) auch passen ... mY+ |
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| 25.11.2017, 19:43 | user425 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Aber man muss einen Vektor finden , der nicht als LK darstellbar ist. |
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| 25.11.2017, 19:59 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das ist der eben gefundene ja auch gar nicht! Oder findest du eine (LK)? mY+ |
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| 02.01.2018, 20:41 | user425 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Sry , dass ich jetzt erst frage, aber zu welchem ist er denn normal? |
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| 02.01.2018, 22:07 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wer zu welchem normal? Was willst du eigenlich immer mit einem Normalvektor? Es kann zwar einen geben*, aber wichtig ist nicht die Orthogonalität, sondern die lin. Unabhängigkeit. Und (1 | 1 | 0) wurde dir ja schon genannt. Teste dies mittels der trivialen Relation! (*) Das habe ich dir ja im vor-vorigen Beitrag erklärt! mY+ |
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| 02.01.2018, 22:41 | user425 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
(1 | 1 | 0) zu einem normal und zu einem lin. unabhängig |
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| 03.01.2018, 09:16 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Vielleicht wäre es insgesamt das Beste, an diese Stelle zurückzukehren:
Diese Matrix hat offensichtlich den Rang 2. Welchen Vektor (als Zeile geschrieben) mußt du zu dieser Matrix hinzufügen, damit die Matrix den Rang 3 hat? |
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| 03.01.2018, 12:28 | user425 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Und was wäre mit (0|0|1) ? Wieso würde das nicht passen? |
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| 03.01.2018, 13:00 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, der ist ok. Insgesamt haben wir jetzt 3 Vektoren, die jeweils linear unabhängig von (1, -1, 3) und (0, 4, -4) sind: 1) (0, 0, 1) 2) (1, 0, 0) 3) (1, 1, 0) Also damit ist die Aufgabe deutlich übererfüllt.
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