Zetafunktion

24.11.2017, 09:27	Joh15	Auf diesen Beitrag antworten »
Zetafunktion Meine Frage: Hallo, ich versuche für komplexe s mit Realteil > 1 folgendes nachvollziehen: Mit $\begin{eqnarray} \int_0^\infty e^{-nx} x^{s-1} dx = \frac{\prod (s-1)}{n^s} \end{eqnarray}$ folgt $\begin{eqnarray} \prod (s-1) \zeta(s) = \int_0^\infty \frac{x^{s-1}dx}{e^x-1} \end{eqnarray}$ Leider stehe ich da evtl. auf dem Schlauch. Mit $\begin{eqnarray} \zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} \end{eqnarray}$ erhalte ich gerade noch $\begin{eqnarray} \prod (s-1) \zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \int_0^\infty \frac{x^{s-1}}{e^{nx}}dx \end{eqnarray}$ Wenn jetzt also x>0 wäre, hätte man $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^\infty (e^{-x})^n = \frac{1}{e^x-1} \end{eqnarray}$ Aber: 1. Man will doch von 0 bis Unendlich integrieren - dann ist \|e^(-x)\| doch gar nicht immer < 1. 2. Warum steht in der zweiten Formel das dx im Zähler? Hat das etwas zu bedeuten oder könnte man es auch hinter den Bruch schreiben? Meine Ideen: Sind oben eingearbeitet.
24.11.2017, 09:37	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
mysteriös Was bitte meinst du mit $\begin{align} \prod (s-1) \end{align}$ ??? Soll das ein Produkt sein? Über welche Indizes?
24.11.2017, 13:06	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zetafunktion Ich tippe mal $\begin{eqnarray} \Pi \end{eqnarray}$ soll für die $\begin{eqnarray} \Gamma \end{eqnarray}$ -Funktion stehen. Auch wenn ich als Argument $\begin{eqnarray} s \end{eqnarray}$ statt $\begin{eqnarray} s-1 \end{eqnarray}$ erwartet hätte.

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