Fixpunktsatz

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xxJan Auf diesen Beitrag antworten »
Fixpunktsatz
Hallo zusammen,

ich habe folgende Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion:



Nun soll ich zeigen, dass der Fixpunktsatz gilt.

Leider weiß ich nicht so ganz wie ich da vorgehen soll, da ich zwar weiß das ich Beweisen muss das die Funktion f: Monoton und Stetig sein muss und das zudem gelten muss:

und

Ich hoffe mir kann einer Helfen

LG

P.S.: Sorry für den Abbildungspfeil oben, weiß nicht wie man den macht Ups
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fixpunktsatz
Der Pfeil ist
code:
1:
\to
oder
code:
1:
\rightarrow

Das liefert jeweils bzw. (ich bin mir nicht 100% sicher, ob es das gleiche Ergebnis ist).

Und Fixpunktsätze gibt es in Mathematik viele. Du musst schon präziser sagen welchen du meinst. Außerdem, was heißt es "dass der Fixpunktsatz" gilt -- dass die Voraussetzungen für diesen erfüllt ist?

Übrigens lässt sich der eindeutige Fixpunkt hier auch leicht ausrechnen.
xxJan Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fixpunktsatz
Dankeschön dann weiß ich jetzt auch wie der Pfeil geht smile

Achso ich wusste nicht das es mehrere gibt... In meinem Skript steht der unter dem Kapitel Grenzwerte von Funktionen wenn du das meinst....

Hier steht:

Sei stetig mit (Selbstkontrahierend), dann existiert ein Fixpunkt .

Mehr kann ich leider auch nicht sagen Ups

Sorry ich muss mir echt mal angewöhnen konkreter zu schreiben... Also ich soll zeigen das die Voraussetzungen des Fixpunktsatzes erfüllt sind.

Wenn ich zeige das die Funktion mit der Abbildung Lipschitz-stetig ist, sind die Vorraussetzungen dann ebenfalls erfüllt?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fixpunktsatz
Dieser Fixpunktsatz ist von Banach. Daher heißt er auch Banachscher Fixpunktsatz. Und natürlich muss existiert dann mit , nicht eine Nullstelle von .

Erst einmal musst du ein kompaktes Intervall angeben, so dass ist. (Selbstabbildung). Dann musst du zeigen, dass sie dort kontrahierend ist, d.h. nicht nur Lipschitz-stetig, sondern dass es eine Lipschitz-konstante echt kleiner 1 gibt.
xxJan Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fixpunktsatz
Und wie finde ich dann die obere Schranke für ein kompakteres Intervall?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fixpunktsatz
Das erfordert etwas Bastelarbeit. Du weißt sicherlich, dass man die Lipschitzkonstante durch die Ableitung abschätzen kann. Es würde sich anbieten herauszufinden, wo die Ableitung kleiner 1 ist. Das schränkt die Wahl des Intervalls schon einmal ein. (Oder nicht, was auch gut ist).
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von xxJan
Hier steht:

Sei stetig mit (Selbstkontrahierend), dann existiert ein Fixpunkt .

Dass diese Abbildung einen Fixpunkt hat, gilt zweifelsohne (beweisbar per Zwischenwertsatz).

Ich wundere mich ein wenig über den Begriff selbstkontrahierend. Unter "kontrahierend" kannte ich bisher sowas wie o.ä., davon kann hier aber bei dieser bloßen Voraussetzung keine Rede sein. verwirrt
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe Selbstkontrahierend mal gelesen als: Selbstabbildung + Kontrahierend. Und das als Voraussetzung, nicht als Bemerkung für .
Auch wenn es seltsam formuliert ist, weil stetig mit auch wohldefiniert und stetig ist. Warum man überhaupt die Einschränkung betrachtet, ist mir ein Rätsel.
xxJan Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fixpunktsatz
Zitat:
Original von IfindU
Das erfordert etwas Bastelarbeit. Du weißt sicherlich, dass man die Lipschitzkonstante durch die Ableitung abschätzen kann. Es würde sich anbieten herauszufinden, wo die Ableitung kleiner 1 ist. Das schränkt die Wahl des Intervalls schon einmal ein. (Oder nicht, was auch gut ist).


Ich bin mir jetzt gerade nicht ganz sicher was du meinst. Also soll ich jetzt die Ableitung berechnen und schauen wann die kleiner als Null ist? oder die Lipschitz konstante?

Zitat:
Original von IfindU
Das schränkt die Wahl des Intervalls schon einmal ein. (Oder nicht, was auch gut ist).


Warum ist das auch gut?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von IfindU
Und das als Voraussetzung, nicht als Bemerkung für .

Dann habe ich das falsch gedeutet. Wohl auch deshalb, weil die Existenz des Fixpunktes das "kontrahierend" gar nicht benötigt:

"Existenz Fixpunkt" einerseits und "Konvergenz dahin" muss man ja auch nicht einen Topf schmeißen. Augenzwinkern
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

@HAL wie im ersten Post geschrieben, lässt sich die Fixpunktgleichung leicht algebraisch lösen. Man bräuchte also nicht einmal den ZWS. Das soll wohl nur eine Übung in der Anwendung vom Banachschen Fixpunkt Satz zu sein. Ansonsten schießt man mit Kanonen auf Spatzen.

@xxJan
Man kann zeigen, dass die Lipschitzkonstante auf dem Intervall gegeben ist durch , wenn die Funktion stetig differenzierbar ist. D.h. man berechnet die Ableitung und schaut an wann die im Betrag kleiner 1 ist.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

@IfindU

Eigentlich wollte ich damit sagen, dass das was xxJan zitiert hat, gar nicht Banach ist, sondern in der Aussage viel weniger (deswegen meine Anmerkung "Existenz Fixpunkt" einerseits und "Konvergenz dahin" andererseits). Du hast Banach ins Spiel gebracht, weil du wohl zu Recht mutmaßt, dass xxJan letztlich darauf hinaus will - aber von ihm kam bisher kein Wort dazu, dass etwa solche Folgen und deren Konvergenz hier gemeint sind.

Es ist ja schön und angenehm, den Leuten in den Mund zu legen, was sie eigentlich wollen - aber noch besser ist es, das von ihnen selbst zu hören. Augenzwinkern
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich an Banach denke, dann an die Existenz eines Fixpunktes. Nicht dessen Konstruktion über die Folge, die du angegeben hast. Aber stimmt. Aus Selbstkontrahierend und die Frage nach Lipschitzstetigkeit bin ich sofort zu Banach gesprungen.

Also Jan, wir brauchen hier Gewissheit.
xxJan Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
@IfindU

Eigentlich wollte ich damit sagen, dass das was xxJan zitiert hat, gar nicht Banach ist, sondern in der Aussage viel weniger (deswegen meine Anmerkung "Existenz Fixpunkt" einerseits und "Konvergenz dahin" andererseits). Du hast Banach ins Spiel gebracht, weil du wohl zu Recht mutmaßt, dass xxJan letztlich darauf hinaus will - aber von ihm kam bisher kein Wort dazu, dass etwa solche Folgen und deren Konvergenz hier gemeint sind.

Es ist ja schön und angenehm, den Leuten in den Mund zu legen, was sie eigentlich wollen - aber noch besser ist es, das von ihnen selbst zu hören. Augenzwinkern


Das was du da ansprichst ist die c) zu der Aufgabenstellung Ich hatte a) angesprochen deswegen dachte ich jetzt nicht dass das relevant ist. verwirrt

Okay das bedeutet wenn ich den Wert gefunden habe für den die Ableitung kleiner als 1 wird kann ich das ersetzen?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist (noch) nicht relevant. Und versuche dich klarer auszudrücken. Wir suche ein Intervall, wo kontrahierend und selbstabbildend ist. Also gucken wir erst einmal wo konstrahierend ist und gucken dann weiter. Das könntest du mal machen.
xxJan Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

sorry das ich jetzt erst wieder schreibe, das Wochenende war irgendwie kaum Zeit.

Die Ableitung ist ja:



Aber wenn ich mich nicht irre ist die doch immer kleiner als 1?!
Also wäre ich ja wieder bei dem Intervall:

IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Schreib lieber . Die Unendlich will man in der Regel nicht dabei haben.

Und ja, das stimmt so. Was beruhigend ist, weil es heisst, dass wir uns wegen der Bedingung keine Gedanken machen müssen. Als nächstes bestimmen wir also so gross, dass gilt . Da beschränkt und positiv ist, tut es natürlich .

Danach haben wir die alles um den Banachschen Fixpunktsatz anzuwenden.
xxJan Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry das ich jetzt so doof fragen muss aber wie erhalte ich dann ?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Dann frag präziser:

Ist unklar, warum so wählen eine gute Idee ist, oder ist es unklar wie man den numerischen Wert von bekommt?
xxJan Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry man denkt irgendwie immer der andere denkt das gleiche deshalb schreibt man was man denkt obwohl es für den anderen gar nicht Logisch ist was man meint...

Eigentlich dachte ich eher an den Numerischen Wert aber wo du gerade so fragst, doch eher beides.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Zum Bestimmen von numerischen Wert: Du hast die Ableitung bereits ausgerechnet, diese ist strikt positiv. D.h. die Funktion wächst die ganze Zeit. Das heisst der "größte" Wert ist im Grenzübergang zu finden.

Man merkt, ich hatte selbst gehofft, dass Maximum existiert irgendwo. D.h. ich korrigiere .

Und die andere Frage: Versuche zu beweisen, dass wenn überall gilt, dann auch .
xxJan Auf diesen Beitrag antworten »

Also bedeutet das, dass ich das supremum der Funktion errechnen muss?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Musst du nicht. Was du musst ist finden mit . Wie du das machst, ist dir überlassen.
xxJan Auf diesen Beitrag antworten »

Naja die Menge konvergiert ja gegen 1, das bedeutet, dass egal welches x ich einsetze das Ergebnis zwischen 0 und 1 liegt. Da bedeutet das ja, dass auch zwischen 0 und 1 einschliesslich sein muss oder nicht?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Mengen konvergieren nicht gegen Zahlen. Aber das Supremum ist tatsächlich 1. Damit ist und ist auf kontrahierend. (Weil es überall kontrahierend war).
Damit hat man endlich alles um Banach anzuwenden.
xxJan Auf diesen Beitrag antworten »

Ohman Dankeschön das du dir so viel Zeit genommen hast. Wink smile
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