Nullstellen von tan(5x)=-tan(2x) berechnen

25.11.2017, 01:10	LeFagnard	Auf diesen Beitrag antworten »
Nullstellen von tan(5x)=-tan(2x) berechnen Durch Anwendung von $\begin{eqnarray} \tan(x) +\tan(y) =\sin(x+y) /\cos(x) \cos(y) \end{eqnarray}$ erhalte ich: $\begin{eqnarray} \sin(7x)/\cos(5x)\cos(2x) \end{eqnarray}$ Allerdings komme ich von hier aus nicht mehr weiter. eigentlich weiß ich nicht, ob ich damit überhaupt den richtigen Weg eingeschlagen habe. Wenn ich mir den Graphen der Funktion anschaue, sehe ich 14 Nullstellen im Einheitskreis. also $\begin{eqnarray} x=\frac{k\pi }{7} \end{eqnarray}$ Diese sind identisch mit denen aus der Funktion: $\begin{eqnarray} \tan(7x)=0 \end{eqnarray}$ Wie kann ich die Funktion berechnen um das Resultat zu finden?
25.11.2017, 01:28	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Tangens ist ungerade. Daher gilt: $\begin{align} \tan(5x) = - \tan(2x) \ \ \Leftrightarrow \ \ \tan(5x) = \tan(-2x) \end{align}$ Und zwei Tangenswerte sind dann und nur dann gleich, wenn die Differenz der Argumente ein Vielfaches von $\begin{align} \pi \end{align}$ ist (Periodizität): $\begin{align} \tan u = \tan v \ \ \Leftrightarrow \ \ u - v = k \pi \, , \ k \in \mathbb{Z} \end{align}$
25.11.2017, 10:32	LeFagnard	Auf diesen Beitrag antworten »
Guten Morgen Leopold, so einfach ist das. Ich muss meine Theorie unbedingt besser lernen. Vielen Dank für Deine Erklärungen. Schönen Gruß aus Ostbelgien.
25.11.2017, 12:41	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
@LeFagnard Auch wenn es unnötig umständlich ist, so kommst du doch auch mit deinem Weg zum Ziel: $\begin{align} \frac{\sin(7x)}{\cos(5x)\cos(2x)} = 0 \end{align}$ hat als Lösungen die Nullstellen des Zählers, die nicht zugleich Nullstellen des Nenners sind. Eine kurzer Check ergibt, dass keine der Zählernullstellen $\begin{align} x=\frac{k\pi}{7} \end{align}$ auch Nennernullstelle ist - und damit bist du auch hier am Ziel.

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