Tensorprodukt, Isomorphie

25.11.2017, 14:59	tensor23	Auf diesen Beitrag antworten »
Tensorprodukt, Isomorphie Meine Frage: Also sei $\begin{eqnarray} (M \otimes_{R} N, t) \end{eqnarray}$ das Tensorprodukt der R-Moduln M und N und U ein Untermodul von M, dann gilt: $\begin{eqnarray} M/U \otimes N \cong (M \otimes_{R} N)/t(U x N) \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Also t ist ja definiert durch: $\begin{eqnarray} t: M x N \rightarrow T = M \otimes_{R} N, t(a,b)=a\otimes b\in T \end{eqnarray}$
27.11.2017, 12:06	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Hans-Joachim Kowalsky, Lineare Algebra 41.3 Für $\begin{eqnarray} \nu=1,...,n \end{eqnarray}$ sei $\begin{eqnarray} U_{\nu} \end{eqnarray}$ ein Untervektorraum von $\begin{eqnarray} X_{\nu} \end{eqnarray}$ . Dann gilt $\begin{eqnarray} X_1/U_1 \otimes ... \otimes X_n/U_n \cong (X_1\otimes ... \otimes X_n)/[U_1,...,U_n] \end{eqnarray}$ Beweis: Es sei $\begin{eqnarray} \omega_{\nu} \end{eqnarray}$ die natürliche Abbildung von $\begin{eqnarray} X_{\nu} \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} X_{\nu}/U_{\nu} \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} \omega=\omega_1\underline\otimes ...\underline\otimes \omega_n \end{eqnarray}$ eine lineare Abbildung von $\begin{eqnarray} X_1\otimes ... \otimes X_n \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} X_1/U_1\otimes ... \otimes X_n/U_n \end{eqnarray}$ . Wegen 41.2 gilt außerdem Kern $\begin{eqnarray} \omega =[U_1,...,U_n] \end{eqnarray}$ . Die Behauptung ergibt sich nun mit 31.5. qed 41.2 Für $\begin{eqnarray} \nu=1,...,n \end{eqnarray}$ sei $\begin{eqnarray} \varphi_{\nu}:X_{\nu}\to Y_{\nu} \end{eqnarray}$ eine lineare Abbildung. Für das tensorielle Produkt dieser Abbildungen gilt dann $\begin{eqnarray} Kern(\varphi_1\underline\otimes ... \underline\otimes \varphi_n)=[Kern\;\varphi_1,...,Kern\;\varphi_n] \end{eqnarray}$ (Beweis eine Seite, nichttrivial mit Diagramm und Verweis auf den Homomorphiesatz) Achtung: Das tensorielle Produkt von linearen Abbildungen ist nicht das Tensorprodukt von linearen Abbildungen. Siehe Definitionen zu Beginn § 41 . 31.5 Für eine lineare Abbildung $\begin{eqnarray} \varphi:X\to Y \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} \varphi X\cong X/Kern\;\varphi \end{eqnarray}$ (Beweis kurz mit Verweis auf den Homomorphiesatz) Wenn damit nicht alles glasklar ist, weiß ich auch nicht weiter.
27.11.2017, 21:15	tensor23	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke erstmal für ihre Antwort. Das Buch von Kowalski habe ich auch, allerdings gibt es dort nur 11 Kapitel. Von wann ist ihr Buch? würde das gerne nochmal nachlesen. Ich habe jetzt die Aufgabe: Sei F ein kommutativer Körper und $\begin{eqnarray} (M \otimes N,t) \end{eqnarray}$ das Tensorprodukt der F-Vektorräume. $\begin{eqnarray} M/U \otimes N/V \cong ( M\otimes_{F} N)/[t(UxN)+t(MxV)] \end{eqnarray}$ hierfür muss ich die Aussage von oben benutzen. Jetzt habe ich so angefangen: Sei U ein Untervektorraum von M und V ein Untervektorraum von N. Dann gilt: $\begin{eqnarray} M/U \otimes N/V \cong ( M\otimes N)/[U,V] \end{eqnarray}$ aber wie komme ich denn jetzt darauf das [t(UxN)+t(MxV)]=[U,V] ist ?

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