Konvergenz-Äquivalenz

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Snexx_Math Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz-Äquivalenz
Hallo zusammen,

folgende Aufgabe lässt mich rätseln:
Zeigen Sie, daß eine beschränkte Folge reeller Zahlen
dann und nur dann konvergent ist, wenn sie genau einen Häufungspunkt besitzt.

Meine Fragen: drückt "dann und nur dann" eine Äquivalenz aus ?

Wenn ja: Wäre die Folgende Äquivalenz die Richtige ? :

ist konvergent ist beschränkt und besitzt genau einen Häufungspunkt

LG

Snexx_Math
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz-Äquivalenz
Deine Äquivalenz ist auch richtig. Aber die Aufgabenstellung sagt.

Sei eine beschränkte Folge. Dann gilt:
ist konvergent besitzt nur einen Häufungspunkt.
 
 
Snexx_Math Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz-Äquivalenz
Zitat:
Deine Äquivalenz ist auch richtig. Aber die Aufgabenstellung sagt. Sei eine beschränkte Folge. Dann gilt: ist konvergent besitzt nur einen Häufungspunkt.



Also muss ich nur ist konvergent besitzt nur einen Häufungspunkt. Unter der Vorraussetzung für beide Seiten ist beschränkt zeigen ?

Kann es seien , dass man eine bzw. beide Richtung nur mit Sätzen beweisen kann ?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz-Äquivalenz
Genau. Und das nur für Folgen, die beschränkt sind. Und man kann beide Richtungen mit Sätzen erschlagen, wenn man die richtigen kennt Big Laugh . Beides lässt sich aber auch leicht über Widerspruch begründen.
Snexx_Math Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz-Äquivalenz
Ich versuchs mal mit Sätzen:

"":

Aus dem Satz: Ist eine konvergente Folge mit Grenzwert a , so konvergiert auch jede Teilfoge von gegen a. Folgt zwingend der Satz: Konvergente Folgen haben genau einen Häufungspunkt. (beide Sätze aus meiner Vorlesung)

"":
Der Satz von Bolzano-Weierstraß sagt aus, dass jede beschränkte Folge (min.) eine konvergente Teilfolge besitzt. Wenn nun genau einen HP besitzt dann müssen alle konvergente Teilfogen gegen den gleichen Grenzwert konvergieren und somit folgt aus der Umkehrung von dem Satz : Ist eine konvergente Folge mit Grenzwert a , so konvergiert auch jede Teilfoge von gegen a. Dass die Folge
konvergent ist.

LG

Snexx_Math
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz-Äquivalenz
Kann man so durchgehen lassen. Die Frage wäre bei was mit den nicht konvergenten Teilfolgen passiert.
Snexx_Math Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz-Äquivalenz
Zitat:
Die Frage wäre bei was mit den nicht konvergenten Teilfolgen passiert.


Also müsste man noch sagen : Alle konv. Teilfolgen kann man zu einer konv. Folge ergänzen. Da jede beschränkte Folge eine konv. Teilfolge hat.

So besser ?

LG

Snexx_Math
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz-Äquivalenz
Und was, wenn die Teilfolge, dir Bolzano gibt, wieder gegen den Häufungspunkt konvergiert, aber es noch eine weiter Teilfolge gibt, die nicht konvergiert?

Es läuft (direkt oder indirekt) auf die Verwendung des folgenden Satzes hinaus:

Eine Folge konvergiert gegen genau dann, wenn jede Teilfolge von eine konvergente Teilfolge mit Grenzwert besitzt.
Snexx_Math Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz-Äquivalenz
Also muss ich sagen, dass jede Teilfolge von konvergent ist ?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz-Äquivalenz
Wenn du den Satz oben benutzen kannst, wäre eine Möglichkeit die Folge.

Sei beschränkt mit nur einem Häufungspunkt. Wähle eine beliebige Teilfolge . Nach Bolzano-Weierstrass gibt es nun eine weitere Teilfolge und Grenzwerb so dass gegen konvergiert. Da somit ein Häufungspunkt ist gilt und damit ist die Aussage gezeigt.
Snexx_Math Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz-Äquivalenz
Also versuche ich die Richtung "" mit nem Widerspruchsbeweis zu zeigen ?

Den Satz
Zitat:
Eine Folge konvergiert gegen genau dann, wenn jede Teilfolge von eine konvergente Teilfolge mit Grenzwert besitzt.


Hatten wir so nicht. Wir hatten aber :

"Ist eine konvergente Folge mit Grenzwert a dann konvergiert auch jede Teilfolge von " gegen a.

Das wäre ja nur
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz-Äquivalenz
Es ist eine sehr elementare Aussage. Dann würde ich es nicht benutzen, aber den Beweis der fehlenden Implikation.

Also: Angenommen konvergiert nicht gegen . D.h. es gibt ein so dass es unendlich viele mit gibt. Da es unendlich viele sind, kannst du eine Teilfolge nehmen, die nur diese enthält. Dann kannst du mit deinem vorigen Argument einen Widerspruch erzeugen. Jetzt kann nämlich Bolzano-Weierstrass NICHT als Häufungspunkt liefern!
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