Konvergenz-Äquivalenz

25.11.2017, 16:04

Snexx_Math

Konvergenz-Äquivalenz

Hallo zusammen,

folgende Aufgabe lässt mich rätseln:
Zeigen Sie, daß eine beschränkte Folge reeller Zahlen $\begin{eqnarray*} ( a_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$
dann und nur dann konvergent ist, wenn sie genau einen Häufungspunkt besitzt.

Meine Fragen: drückt "dann und nur dann" eine Äquivalenz aus ?

Wenn ja: Wäre die Folgende Äquivalenz die Richtige ? :

$\begin{eqnarray*} ( a_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ ist konvergent $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} ( a_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ ist beschränkt und besitzt genau einen Häufungspunkt

LG

Snexx_Math

25.11.2017, 16:07

IfindU

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RE: Konvergenz-Äquivalenz
Deine Äquivalenz ist auch richtig. Aber die Aufgabenstellung sagt.

Sei $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ eine beschränkte Folge. Dann gilt:
$\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ ist konvergent $\begin{eqnarray*} \iff \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ besitzt nur einen Häufungspunkt.

25.11.2017, 16:19

Snexx_Math

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RE: Konvergenz-Äquivalenz

Zitat:

Deine Äquivalenz ist auch richtig. Aber die Aufgabenstellung sagt. Sei $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ eine beschränkte Folge. Dann gilt: $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ ist konvergent $\begin{eqnarray*} \iff \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ besitzt nur einen Häufungspunkt.

Also muss ich nur $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ ist konvergent $\begin{eqnarray*} \iff \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ besitzt nur einen Häufungspunkt. Unter der Vorraussetzung für beide Seiten $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ ist beschränkt zeigen ?

Kann es seien , dass man eine bzw. beide Richtung nur mit Sätzen beweisen kann ?

25.11.2017, 16:22

IfindU

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RE: Konvergenz-Äquivalenz
Genau. Und das nur für Folgen, die beschränkt sind. Und man kann beide Richtungen mit Sätzen erschlagen, wenn man die richtigen kennt Big Laugh

. Beides lässt sich aber auch leicht über Widerspruch begründen.

25.11.2017, 16:32

Snexx_Math

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RE: Konvergenz-Äquivalenz
Ich versuchs mal mit Sätzen:

" $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ ":

Aus dem Satz: Ist $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ eine konvergente Folge mit Grenzwert a , so konvergiert auch jede Teilfoge von $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ gegen a. Folgt zwingend der Satz: Konvergente Folgen haben genau einen Häufungspunkt. (beide Sätze aus meiner Vorlesung)

" $\begin{eqnarray*} \Leftarrow \end{eqnarray*}$ ":
Der Satz von Bolzano-Weierstraß sagt aus, dass jede beschränkte Folge (min.) eine konvergente Teilfolge besitzt. Wenn $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ nun genau einen HP besitzt dann müssen alle konvergente Teilfogen gegen den gleichen Grenzwert konvergieren und somit folgt aus der Umkehrung von dem Satz : Ist $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ eine konvergente Folge mit Grenzwert a , so konvergiert auch jede Teilfoge von $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ gegen a. Dass die Folge
$\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ konvergent ist.

LG

Snexx_Math

25.11.2017, 17:28

IfindU

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RE: Konvergenz-Äquivalenz
Kann man so durchgehen lassen. Die Frage wäre bei $\begin{eqnarray*} \Leftarrow \end{eqnarray*}$ was mit den nicht konvergenten Teilfolgen passiert.

25.11.2017, 17:46

Snexx_Math

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RE: Konvergenz-Äquivalenz

Zitat:

Die Frage wäre bei $\begin{eqnarray*} \Leftarrow \end{eqnarray*}$ was mit den nicht konvergenten Teilfolgen passiert.

Also müsste man noch sagen : Alle konv. Teilfolgen kann man zu einer konv. Folge ergänzen. Da jede beschränkte Folge eine konv. Teilfolge hat.

So besser ?

LG

Snexx_Math

25.11.2017, 17:53

IfindU

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RE: Konvergenz-Äquivalenz
Und was, wenn die Teilfolge, dir Bolzano gibt, wieder gegen den Häufungspunkt konvergiert, aber es noch eine weiter Teilfolge gibt, die nicht konvergiert?

Es läuft (direkt oder indirekt) auf die Verwendung des folgenden Satzes hinaus:

Eine Folge $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ konvergiert gegen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ genau dann, wenn jede Teilfolge von $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ eine konvergente Teilfolge mit Grenzwert $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ besitzt.

26.11.2017, 03:44

Snexx_Math

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RE: Konvergenz-Äquivalenz
Also muss ich sagen, dass jede Teilfolge von $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ konvergent ist ?

26.11.2017, 08:05

IfindU

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RE: Konvergenz-Äquivalenz
Wenn du den Satz oben benutzen kannst, wäre eine Möglichkeit die Folge.

Sei $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ beschränkt mit nur einem Häufungspunkt. Wähle eine beliebige Teilfolge $\begin{eqnarray*} (a_{n_k}) \end{eqnarray*}$ . Nach Bolzano-Weierstrass gibt es nun eine weitere Teilfolge und Grenzwerb $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ so dass $\begin{eqnarray*} ( a_{n_{k_l}}) \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ konvergiert. Da $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ somit ein Häufungspunkt ist gilt $\begin{eqnarray*} b = a \end{eqnarray*}$ und damit ist die Aussage gezeigt.

26.11.2017, 14:40

Snexx_Math

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RE: Konvergenz-Äquivalenz
Also versuche ich die Richtung " $\begin{eqnarray*} \Leftarrow \end{eqnarray*}$ " mit nem Widerspruchsbeweis zu zeigen ?

Den Satz

Zitat:

Eine Folge $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ konvergiert gegen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ genau dann, wenn jede Teilfolge von $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ eine konvergente Teilfolge mit Grenzwert $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ besitzt.

Hatten wir so nicht. Wir hatten aber :

"Ist $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ eine konvergente Folge mit Grenzwert a dann konvergiert auch jede Teilfolge von $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ " gegen a.

Das wäre ja nur $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$

26.11.2017, 14:57

IfindU

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RE: Konvergenz-Äquivalenz
Es ist eine sehr elementare Aussage. Dann würde ich es nicht benutzen, aber den Beweis der fehlenden Implikation.

Also: Angenommen $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ konvergiert nicht gegen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ . D.h. es gibt ein $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ so dass es unendlich viele $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} | a_n - a| > \epsilon \end{eqnarray*}$ gibt. Da es unendlich viele sind, kannst du eine Teilfolge nehmen, die nur diese $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ enthält. Dann kannst du mit deinem vorigen Argument einen Widerspruch erzeugen. Jetzt kann nämlich Bolzano-Weierstrass NICHT $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ als Häufungspunkt liefern!

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