Differenz 2 im Innern des Pascal-Dreiecks

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Sidney Huffman Auf diesen Beitrag antworten »
Differenz 2 im Innern des Pascal-Dreiecks
Hallo,

es stellte sich mir die Frage (Frage unter "3."), ob Differenzen im Inneren des Pascal-Dreiecks gleich 2 sein können.



1. Begriff "Inneres ..."

Was meine ich mit dem "Inneren des Pascal-Dreiecks"? Dazu dieses Bild hier:




Edit (mY+): LaTeX berichtigt. Keine Zeilenumbrüche extra einfügen, die \\ (ohne return!) sind ausreichend!

Da die folgende Definition kürzer ist, gebe ich sie auch noch an. Ich hoffe, dass sie nicht widersprüchlich zu der Abbildung ist, sondern damit übereinstimmt: Das Innere des Pascal-Dreiecks sei die Menge I aller Binomialkoeffizienten , für die gilt: 1 < k < n-1. Um diese Restmenge I von Binomialkoeffizienten soll es in der abschließenden Frage (unter "3.") gehen.



2. Zahlenbeispiele

Zuvor noch einige Zahlenwerte, um die abschließende Frage beispielhaft zu verdeutlichen.


In dem oben definierten Innern I des Pascal-Dreiecks findet man Binomialkoeffizienten mit paarweisen
Differenzen von 6:


Ebenso findet man reichlich Paare der Differenz 5:


Differenz 4:


Differenz 3:

Differenz 2: 2 = (?) - (?)

Differenz 1:



3. Die Frage:


Gibt es in dieser Menge I, also im oben (am Ende von "1.") definierten "Innern" des Pascal-Dreiecks, Binomialkoeffizienten, die eine Differenz von 2 voneinander haben?



Ich habe diese Frage zwar unter "Schulmathematik" gestellt, weil ich nicht erwarte, dass ich an der Hochschule übliche Rechenschritte auf Anhieb verstehen könnte, aber ich fühle ich mich in der Lage, zu etwaigen solchen gezielt Nachfragen stellen zu können.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du am Ende fast jeder Zeile "..." schreibst, dann suggeriert das eine Regelmäßigkeit, wie du weitere solche Paare von Binomialkoeffizienten mit dieser Differenz findest. Aus deinen Ausführungen kann ich nicht erkennen, welche Regelmäßigkeit das sein soll - kannst du die mal näher ausführen? Augenzwinkern
Sidney Huffman Auf diesen Beitrag antworten »

Weitere Paare habe ich gefunden, ohne auf irgendeine Regelmäßigkeit zu achten. Erst durch deine Rückfrage ist mir aufgefallen, dass ich die zuerst siebenmalig (zur Andeutung einer absoluten Regelmäßigkeit) geschriebenen drei Pünktchen im Weiteren unbewusst anderweitig missbraucht habe.

Im Gegensatz zur Andeutung der regelmäßigen Fortsetzung unter der gleichschenkligen Dreiecksanordnung habe ich die "..." in den Zahlenbeispielen für die Differenzen 1 und 4 bis 6 unabsichtlich sechsmal in einer anderen Bedeutung verwendet, also ohne irgendeine Regelmäßigkeit damit andeuten zu wollen. Die Pünktchen sollten da blöderweise die abweichende Bedeutung haben, dass ich neben den aufgeschriebenen noch weitere Paare finden konnte. Ich bitte um Entschuldigung für diese Missdeutigkeit.

Vielen Dank für den Hinweis und auch danke an mY+ für die korrekten LaTeX-Tags.



Lässt man noch diejenigen Identitäten aufgrund der Gleichheit weg (Das hat z. B. zur Konsequenz, dass ich zur Differenz 9 kein anderes Paar als das aus der Differenz (2 aus 10)-(2 aus 9) finden konnte), dann reduzieren sich die mir momentan vorliegenden Zahlenbeispiele auf:

Differenz 16: keine Paare gefunden.
Differenz 15: nur das eine Paar aus der Differenz (3 aus 10)-(2 aus 15) gefunden.
Differenz 14: fünf Paare gefunden.
Differenzen 13, 11, 8: nur jeweils zwei Paare gefunden.
Differenz 12: fünf gefunden.
Differenz 10: elf gefunden.
Differenz 9: s. o.
Differenz 7: fünf gefunden.

Differenz 6:
(und zwei weitere hier nicht aufgeführte).

Differenz 5:
(und kein weiteres Paar gefunden).

Differenz 4:
(und zwei weitere).

Differenz 3: (und kein weiteres Paar gefunden).

Differenz 2: - keine gefunden.

Differenz 1 (im Vergleich zu den bisher aufgeführten die (nach den elf für Differenz 10) zweitmeisten Paare gefunden; hier nur auszugsweise):


Zusammengefasst findet man also, mit Ausnahme eben von Differenz 2, für die Differenzen von 1 bis 8 zumindest jeweils zwei Paare und für Differenz 1 und 4 bis 7 sogar mehr als zwei Paare. Gibt es eine einfache arithmetische Begründung für das Nichtvorkommen der 2?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht hast du einfach nur nicht lange genug gesucht: .
Sidney Huffman Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, daran hat es gelegen.



Dann werde ich mal nach Differenz 9 und Differenz 16 suchen.
Vielleicht finde ich dabei ja noch eine zweite Darstellung für die 2.

Danke smile
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