Nullmenge zeigen

25.11.2017, 16:28

Sphäre

Nullmenge zeigen

Meine Frage:
Hallo,
folgende Aufgabe
[attach]45796[/attach]

Meine Ideen:
Für jede Dimension bildet das ja eine abzählbare Teilmenge des R^n und ist somit eine Nullmenge
nur weiß ich nicht wie ich das zeigen soll..
hoffe jemand kann mir helfen
LG

25.11.2017, 18:17

sibelius84

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Hi Sphäre,

ich meine mich zu erinnern, dass es einen Zusammenhang gibt der Art "Ränder offener und abgeschlossener Teilmengen des |R^n sind Nullmengen". Falls ihr den benutzen dürft, könntest du die Aussage schnell beweisen, indem du zeigst, dass S^(n-1) Rand einer bestimmten Menge ist, die du ridr dann noch geeignet aussuchen musst.

Oder du zeigst, dass S^(n-1) als Zwischenmenge zweier Mengen mit dem selben Maß auftritt. Das wäre ebenfalls ein Argument dafür, dass es eine Nullmenge ist.

LG
sibelius84

25.11.2017, 18:41

10001000Nick1

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Zitat:

Original von sibelius84
ich meine mich zu erinnern, dass es einen Zusammenhang gibt der Art "Ränder offener und abgeschlossener Teilmengen des |R^n sind Nullmengen".

Das stimmt nicht. Es gibt sogar offene (bzw. abgeschlossene) Mengen, deren Rand Lebesgue-Maß $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ hat.

Ein möglicher Ansatz wäre noch das Cavalierische Prinzip (falls schon bekannt) und Induktion.

25.11.2017, 18:44

Sphäre

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Hey,Danke für die Antwort !
Reicht es also auch,wenn ich zeigen könnte dass die Menge einfach kompakt ist ? Ist ja auch oder ?

25.11.2017, 18:47

Sphäre

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Induktion wäre mir lieber..
für n=1 ist es ja trivial da die diese nur aus einem Element besteht
Wüsste aber nicht wie ich den Induktionsschritt ausführen könnte.. verwirrt

25.11.2017, 19:06

10001000Nick1

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Nicht ganz richtig: $\begin{eqnarray*} \{x\in\mathbb R\mid |x|=1\} \end{eqnarray*}$ enthält 1 und -1. (Ändert aber nichts daran, dass das eine $\begin{eqnarray*} \lambda^1 \end{eqnarray*}$ -Nullmenge ist.)

Jetzt nimmst du also an, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb S^{n-1} \end{eqnarray*}$ eine $\begin{eqnarray*} \lambda^n \end{eqnarray*}$ -Nullmenge ist und willst damit zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb S^{n} \end{eqnarray*}$ eine $\begin{eqnarray*} \lambda^{n+1} \end{eqnarray*}$ -Nullmenge ist.
Dazu schau dir für $\begin{eqnarray*} -1<y<1 \end{eqnarray*}$ die Mengen $\begin{eqnarray*} \{x\in\mathbb R^{n}\mid (x,y)\in\mathbb S^{n}\} \end{eqnarray*}$ an. Was haben diese Mengen mit $\begin{eqnarray*} \mathbb S^{n-1} \end{eqnarray*}$ zu tun? (Mach dir dazu vielleicht eine Skizze für n=2 oder n=3.)
Mit dem Prinzip von Cavalieri kannst du dann die Induktionsbehauptung zeigen.

25.11.2017, 19:18

Sphäre

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S^n enthält ja dann die "Vektoren" aus n+1 Dimension mit der Norm1 oder nicht ?
Und S^(n-1) eben die mit der Dimension n verwirrt

aber was mir die menge mit -1 < y < 1 weiterbringen soll, hab ich echt keine Ahnung :/

25.11.2017, 19:37

10001000Nick1

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Z.B. für n=3 und $\begin{eqnarray*} y=\frac 12 \end{eqnarray*}$ ist

$\begin{eqnarray*} \begin{aligned} \{x\in\mathbb R^{3}\mid (x,\frac 12)\in\mathbb S^{3}\} &=\{x\in\mathbb R^3\mid x_1^2+x_2^2+x_3^2+\frac 14=1\} \\ &= \{x\in\mathbb R^3\mid x_1^2+x_2^2+x_3^2=\frac 34 \} \end{aligned} \end{eqnarray*}$

Jetzt eine Idee? (Wenn nicht: Skizze machen!)

25.11.2017, 20:15

Sphäre

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Hm im Vergleich zu S^(n-1), enthält die Menge die du aufgestellt hast, die Vektoren die eben Norm <1 besitzen oder ? Sprich mit -1 <y <1 wobei je größer mein y desto kleiner die Norm
Prinzip von Cavalieri ist mir fremd verwirrt

25.11.2017, 20:42

10001000Nick1

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Zitat:

Original von Sphäre
Prinzip von Cavalieri ist mir fremd verwirrt

Hm, dann funktioniert dieser Weg doch nicht. Um die Behauptung induktiv zeigen zu können, braucht man nämlich dieses Prinzip. (Falls du es irgendwann noch kennenlernst, kannst du ja als Übungsaufgabe nochmal versuchen, diese Aufgabe damit zu lösen. Augenzwinkern

)

Wie du die Aussage zeigen kannst, hängt davon ab, was ihr schon alles in der Vorlesung bewiesen habt. Das weiß ich natürlich nicht.
Sätze, mit denen man die Aufgabe lösen kann, wären z.B. folgende:

Für eine abgeschlossene Menge $\begin{eqnarray*} A\subseteq\mathbb R^n \end{eqnarray*}$ ist der Graph einer stetigen Funktion $\begin{eqnarray*} f: A\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ eine Lebesgue-Nullmenge.
Der Rand einer konvexen Menge $\begin{eqnarray*} A\subseteq\mathbb R^n \end{eqnarray*}$ ist eine Lebesgue-Nullmenge.

Hast du davon schon mal etwas gehört?

Man kann es auch direkt über die Definition von Nullmengen machen: Für jedes $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ kann man eine Überdeckung von $\begin{eqnarray*} \mathbb S^{n-1} \end{eqnarray*}$ mit abzählbar vielen halboffenen Würfeln $\begin{eqnarray*} (W_k)_{k\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ finden, sodass die Summe der Volumina der Würfel kleiner als $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ ist.

25.11.2017, 20:50

Sphäre

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[attach]45801[/attach]
Ich hab das hier gefunden (wegen der Fußnote) aber irgendwie sehe ich hier keinen Zusammenhang

25.11.2017, 20:58

10001000Nick1

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Ich denke, das hilft hier nicht wirklich weiter.

Nochmal die Frage: Was weißt du alles über Nullmengen? (Definition, Sätze etc.)

25.11.2017, 21:08

Sphäre

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-mengen mit äußerem leb. maß 0
-Q^n Nullmenge in R^n
-R^(n-1) Nullmenge in R^n
-endliche Mengen sind Nullmengen

25.11.2017, 22:36

10001000Nick1

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OK, über die Definition (Überdeckung mit Würfeln) geht es anscheinend doch nicht so einfach (jedenfalls sehe ich gerade nicht, wie Augenzwinkern

).

Eine Möglichkeit, die mir noch eingefallen ist, braucht nur Eigenschaften von Maßen und das Verhalten des Lebesgue-Maßes unter linearen Abbildungen (hier speziell Skalierungen): Ist $\begin{eqnarray*} A\subseteq\mathbb R^n \end{eqnarray*}$ (lebesgue-)messbar und $\begin{eqnarray*} r>0 \end{eqnarray*}$ , dann gilt $\begin{eqnarray*} \lambda^n(r\cdot A)=r^n\cdot \lambda^n(A) \end{eqnarray*}$ (mit $\begin{eqnarray*} r\cdot A:=\{r\cdot x \mid x\in A\} \end{eqnarray*}$ ).

$\begin{eqnarray*} B_r \end{eqnarray*}$ sei die offene Kugel um 0 mit Radius r, $\begin{eqnarray*} \overline B_r \end{eqnarray*}$ ihr Abschluss.
Wir zeigen, dass $\begin{eqnarray*} B_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \overline B_1 \end{eqnarray*}$ dasselbe Lebesgue-Maß haben; $\begin{eqnarray*} \mathbb S^{n-1} \end{eqnarray*}$ ist dann als Differenzmenge davon eine Nullmenge.

Mithilfe der Skalierungseigenschaft kannst du $\begin{eqnarray*} \lambda^n(\overline B_r) \end{eqnarray*}$ in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda^n(\overline B_1) \end{eqnarray*}$ schreiben.
Nun ist $\begin{eqnarray*} B_1=\bigcup_{k\in\mathbb N} \overline B_{1-\frac 1k} \end{eqnarray*}$ . Verwende jetzt die Stetigkeit des Maßes, um $\begin{eqnarray*} \lambda^n(B_1) \end{eqnarray*}$ zu bestimmen.

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