Zeige, Folge a(n) ist monoton fallend

25.11.2017, 16:50

Losspost

Zeige, Folge a(n) ist monoton fallend

Meine Frage:
Hallo

Meine Aufgabe ist wie im Titel beschrieben. Dazu habe ich folgende Werte bekommen:
R > 0; $\begin{eqnarray*} a_1=2R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_{n+1}=R+\frac{Ra_n}{R+(a_n)} \end{eqnarray*}$ für rekursiv gegeben

Meine Ideen:
Ich weis ja das $\begin{eqnarray*} a_{n+1}\leq a_n \end{eqnarray*}$ sein muss damit es monoton fallend ist. Jedoch komme ich nicht darauf wie ich an a(n) kommen soll? Ich würde mich sehr über Hilfe freuen

Mfg Losspost

25.11.2017, 17:20

mYthos

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Siehe dir mal das Verfahren dort an, das könnte bei deinem "rekursiven" Problem helfen ...

mY+

25.11.2017, 17:28

ML_

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RE: Zeige, Folge a(n) ist monoton fallend
Hallo,

Zitat:

Ich weis ja das $\begin{eqnarray*} a_{n+1}\leq a_n \end{eqnarray*}$ sein muss damit es monoton fallend ist. Jedoch komme ich nicht darauf wie ich an a(n) kommen soll?

Fang mal so an und überlege, ob Du eine allgemeine Formel aufstellen kannst:
$\begin{eqnarray*} a_1 = 2\cdot R \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_2 = \frac{R\cdot a_n}{R+a_n} = \frac{R\cdot 2R}{R+2R} = \frac{2\cdot R^2}{3R} = \frac{2}{3}R \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_3 = ... \end{eqnarray*}$
und ergänzt einige Glieder. Dann überlegst Du Dir, was rauskommen muss.

Wenn Du nichts siehst, kannst Du schauen, ob Du die Beziehung $\begin{eqnarray*} a_{n+1}-a_n<0 \end{eqnarray*}$ was Allgemeines aussagen kannst oder zumindest für den Fall, dass schon $\begin{eqnarray*} a_{n}-a_{n-1}<0 \end{eqnarray*}$ war.

Viele Grüße
Michael

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