Beispiel zur Messbarkeit

25.11.2017, 18:16	forbin	Auf diesen Beitrag antworten »
Beispiel zur Messbarkeit Hallo Leute, wir haben zur Messbarkeit einer Funktion folgende Definition bekommen: [attach]45798[/attach] Nun versuche ich mir das an einem Beispiel vorzustellen. Sei $\begin{eqnarray} \Omega = \mathbb N, \mathcal{A} = Pot(\mathbb N) \end{eqnarray}$ . Sei nun $\begin{eqnarray} f: \mathbb N\rightarrow \mathbb R, n\mapsto n^{2} \end{eqnarray}$ Ich wähle mir als ein beliebiges $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \forall \alpha\in\mathbb R : \{\omega\in\mathbb R : \omega^{2} < \alpha\} \in \mathcal{A} \end{eqnarray}$ Aber es erfüllen ja auch $\begin{eqnarray} \omega <0 \end{eqnarray}$ die Voraussetzung. Diese liegen aber nicht in $\begin{eqnarray} \mathcal{A} \end{eqnarray}$ Ist die Funktion damit nicht messbar?
25.11.2017, 18:18	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beispiel zur Messbarkeit Die Definition hat einen Tippfehler. Es muss richtig $\begin{eqnarray} \{ \omega \in \Omega : f(\omega) < \alpha \} \end{eqnarray}$ heissen.
25.11.2017, 18:19	forbin	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh, wie super, danke! Dann ist für mein Beispiel die Messbarkeit ja auch erfüllt.
25.11.2017, 18:25	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beispiel zur Messbarkeit Ist $\begin{eqnarray} \mathcal A = \mathcal P(\Omega) \end{eqnarray}$ , so ist jede Funktion messbar
25.11.2017, 18:27	forbin	Auf diesen Beitrag antworten »
Das kommt sicherlich noch in der Vorlesung (bzw. ich weiß, dass es kommt ), aber jetzt versuche ich gerade mir das an einer Funktion oder mehren vorzustellen, was es bedeutet. Dieses Beispiel hat mir schon sehr geholfen und insbesondere habe ich das durch die falsche Information in der Definition nach der Korrektur verstanden. Nach einer nicht-messbaren Funktion zu suchen macht für den Anfang keinen Sinn, wenn ich die Suchergebnisse so auswerte
25.11.2017, 18:30	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Nicht-messbare Funktionen sind leicht zu konstruieren. Du musst nur $\begin{eqnarray} \mathcal A = \{ \emptyset, \Omega \} \end{eqnarray}$ wählen. Dann ist jede nicht-konstante sofort nicht-messbar. Was du findest ist: Es gibt "wenig" messbare Funktionen, wenn $\begin{eqnarray} \Omega \subset \mathbb R^n \end{eqnarray}$ und man als Sigma-Algebra die Lebesgue-messbaren Mengen nimmt. Und, es folgt sofort mit der Definition, dass bei $\begin{eqnarray} \mathcal A = \mathcal P(\Omega) \end{eqnarray}$ alle Funktionen messbar sind.
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25.11.2017, 18:39	forbin	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, ich beschäftige mich jetzt mal damit. Vielen Dank, das hat mir sehr geholfen!

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