Betragsfunktion mit komplexen Zahlen

25.11.2017, 18:53

SimonAP

Betragsfunktion mit komplexen Zahlen

Meine Frage:
Ich würde gerne wissen wie man Gleichungen wie $\begin{eqnarray*} |z-1|+|z+1|=2 \end{eqnarray*}$ löst, wenn z ein Element der komplexen Zahlen ist. Die numerische Lösung habe ich bereits also interessiert mich hauptsächlich das Lösungsverfahren.

Meine Ideen:
Vielleicht kann man es in 2 Gleichungen aufteilen, eine für den reellen und eine für den imaginären Teil?

25.11.2017, 18:58

sibelius84

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Hi SimonAP,

normalerweise häufig eine ganz gute Idee, nur hast du hier ja schon eine Gleichung in den (positiven) reellen Zahlen. Ich würde z=x+iy schreiben und die Definition des Betrages verwenden. Einmal quadrieren, geeignet umformen, nochmal quadrieren. Könnte in Arbeit ausarten, aber das Ergebnis ist eine schöne geometrische Figur.

Grüße
sibelius84

25.11.2017, 19:39

Leopold

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RE: Betragsfunktion mit komplexen Zahlen

Zitat:

Original von SimonAP
$\begin{eqnarray*} |z-1|+|z+1|=2 \end{eqnarray*}$

Diese Gleichung kennzeichnet eine Ellipse. Die Brennpunkte in der Gaußschen Zahlenebene sind $\begin{align*} f_1 = 1 \end{align*}$ und $\begin{align*} f_2 = -1 \end{align*}$ , die große Halbachse ist $\begin{align*} a = 1 \end{align*}$ . Die Brennweite ist $\begin{align*} e = 1 \end{align*}$ und wegen $\begin{align*} b^2 = a^2 - e^2 \end{align*}$ ist die kleine Halbachse $\begin{align*} b=0 \end{align*}$ . Huch! Die Ellipse entartet ...

25.11.2017, 21:27

sibelius84

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Da war aber jemand geizig, hätte man da nicht wenigstens noch 0,5 obendrauf packen können? Big Laugh

Ja ja, Schönheit (geometrischer Figuren) liegt immer im Auge des Betrachters... Engel

Man könnte auch sehen, dass |z+1| + |z-1| = |1+z| + |1-z| >= |1+z+1-z| = 2 für alle z aus C wegen der Dreiecksungleichung gilt. Und daraus irgendwas Schlaues folgern...?

25.11.2017, 23:24

Leopold

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Im Fall $\begin{align*} z \not \in \mathbb{R} \end{align*}$ bilden die Punkte $\begin{align*} -1,1,z \end{align*}$ in der Gaußschen Ebene ein nichtentartetes Dreieck mit den Seitenlängen $\begin{align*} a = |z-1|, \, b = |z+1|, \, c = 2 \end{align*}$ , womit $\begin{align*} a+b>c \end{align*}$ gilt. Gleichheit kann daher höchstens für $\begin{align*} z \in \mathbb{R} \end{align*}$ bestehen, wenn das Dreieck entartet.

Sei nun $\begin{align*} z \in \mathbb{R} \end{align*}$ . Ist $\begin{align*} z>1 \end{align*}$ , so gilt ebenfalls

$\begin{align*} |z-1| + |z+1| = z-1+z+1 = 2z > 2 \end{align*}$

Entsprechendes hat man aus Gründen der Symmetrie auch für $\begin{align*} z<-1 \end{align*}$ . Bleibt der Fall $\begin{align*} -1 \leq z \leq 1 \end{align*}$ . Hier rechnet man

$\begin{align*} |z-1| + |z+1| = 1-z+z+1 = 2 \end{align*}$

25.01.2018, 22:27

SimonAP

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Komisch, ich habe gar keine E-mail Benachrichtigung bekommen verwirrt

Danke trotzdem Freude

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