Surjektiver Homomorphismus Beweis

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mojili Auf diesen Beitrag antworten »
Surjektiver Homomorphismus Beweis
Meine Frage:
Hey!
Ich soll beweisen, dass folgender Gruppenhomomorphismus surjektiv ist:

(S, +, *) kommutativer Ring und
f : S^3 --> S^3
mit
f(a,b,c) = (2a+3b+5c, 4a+4b+8c, 6a+5b+4c)

S ist in diesem Fall Z/5Z (also die Äquivalenzklassen 0, 1, 2, 3, 4).



Meine Ideen:
Ich habe bereits schon gezeigt, dass es ein Gruppenhomomorphismus ist.
Ich habe auch den Kern untersucht und herausgefunden, dass nur das neutrale Element im Kern liegt. Also ist f injektiv.
Wie kann ich aber zeigen, dass f surjektiv ist?

Für jedes Element e aus S^3 muss es ein Element u der Form (u1, u2, u3) aus S^3 geben,
für das gilt f(u) = (2u1+3u2+5u3, 4u1+4u2+8u3, 6u1+5u2+4u3) = e

Wie kann ich das beweisen??

Vielen Dank für Eure Hilfe!! smile
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Surjektiver Homomorphismus Beweis
Zitat:
Original von mojili
...
Wie kann ich aber zeigen, dass f surjektiv ist?

Für jedes Element e aus S^3 muss es ein Element u der Form (u1, u2, u3) aus S^3 geben,
für das gilt f(u) = (2u1+3u2+5u3, 4u1+4u2+8u3, 6u1+5u2+4u3) = e


Da hast du dir doch genau den richtigen Ansatz schon hingeschrieben! smile Da e aus S^3 kommt, ist e ebenfalls von der Form (e_1,e_2,e_3). Also erhältst du ein LGS über Z/5Z

e_1 = 2u_1 + 3u_2 + 5u_3
e_2 = 4u_1 + ... usw.

Du solltest übrigens deine Koeffizienten dringend mal modulo 5 reduzieren Augenzwinkern

LG
sibelius84
mojili Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Surjektiver Homomorphismus Beweis
Danke für die Antwort!
Das mit dem Reduzieren muss ich noch machen ^^

Muss ich dann die drei Gleichung e1 = ... , e2 = ..., e3 = ...
jeweils nach u1, u2 und u3 umformen?
So dass ich dann ein Tripel u der Form (u1, u2, u3) habe in Abhängigkeit der e ?
Oder was fehlt jetzt noch?
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Genau das! Freude
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