Untersuchung von Reihen |
26.11.2017, 03:57 | Snexx_Math | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Untersuchung von Reihen folgende Aufgabe: Untersuchen Sie die Reihen und auf Konvergenz und berechnen Sie den Grenzwert der Reihe : Ich stehe vor dem Problem, dass ich keine Ahnung hab was ich jetzt machen muss. Ich vermute allerdings, dass die Konvergenzkriterien für Reihen helfen könnten, aber diese verstehe ich leider noch nicht so wirklich Zusatz: Habe nur einen kleinen Gedanken zur Reihe : da nach unserer Vorlesung konvergiert nach Majorantenkriterium , dass auch konvergiert. Da Majorante zu ist. Und für die zweite Reihe würde ich jetzt versuchen die Konvergenz mit dem Leibniz-Kriterium zu zeigen, da eine monoton fallende Nullfolge ist. LG und danke für jede Hilfe Snexx_Math |
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26.11.2017, 07:42 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Bei Reihe 1 liegst du richtig. Nun zu Reihe 2:
Ist sie das wirklich? |
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26.11.2017, 13:09 | Snexx_Math | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ah nein ist sie natürlich nicht war wohl gestern ein bisschen spät Der erste Wert ist ja 1 und der zweite 1,5 Kann ich denn dann über die Begründung, dass die 2 Teilfolgen mit allen geraden n's und allen ungeraden n's jeweils eine monoton fallende Nullfolge sind , etwas anfangen ? und wie berechnet man den konkreten Reihenwert der letzten Reihe ? LG Snexx_Math |
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26.11.2017, 13:25 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Konvergieren und , dann konvergiert auch |
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26.11.2017, 14:30 | Snexx_Math | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ist das nicht falsch ? Weil wäre doch und das divergiert weil es die harmonische Reihe ist . LG |
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26.11.2017, 14:38 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Du musst den Satz von Leopold genauer lesen: Der erste Teilsatz "Konvergieren und ," kennzeichnet eine Bedingung!!! Anders formuliert könnte man den auch schreiben: "Falls (!) und konvergieren," . Leopold hat also eine Implikation formuliert, und die ist gewiss nicht falsch. Was du zur Divergenz der Reihe gesagt hast, ist allerdings auch richtig - nun musst du daraus noch die richtigen Schlussfolgerungen ziehen. |
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26.11.2017, 14:52 | Snexx_Math | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ist ja meine zu untersuchende Reihe bzw. die Folge welche aufaddiert wird. Nun ist es so, dass nach der Implikation von Leopold aus etwas Wahrem etwas Falsches folgt, also ist die Aussage insgesamt falsch. Daher ist meine zu unteruschende Reihe nicht konvergent. Richtig ? |
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26.11.2017, 14:58 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
So in etwa, aber du darfst auf diese Weise nur dann von der Divergenz von auf die Divergenz von schließen, falls konvergiert. Letzteres sollte also noch begründet werden, sonst klafft eine Lücke. |
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26.11.2017, 15:05 | Snexx_Math | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
So in etwa, aber du darfst auf diese Weise nur dann von der Divergenz von auf die Divergenz von schließen, falls konvergiert. Wäre das nicht das Vergleichskriterium ? Das habe ich iwie garnicht verstanden. Ich weiß ehrlich gesagt gerade garnicht weiter. Mir fällt auch gerade auf, dass nicht meine zu untersuchende Reihe ist. Passt das dann alles überhaupt noch ? |
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26.11.2017, 15:11 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Doch, es ist das Reihenglied deiner zu untersuchenden Reihe. |
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26.11.2017, 15:27 | Snexx_Math | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
also ausmultipliziert stände dann doch : Hab jetzt verstanden, dass man die 1 zu auseinanderziehen kann. Ok, das ist also verstanden. Aber dann versteh ich nicht was ich jetzt damit anfangen soll, dass die Implikation falsch ist. Aber ich denke jetzt mal so: Man kann jetzt auf die Divergenz von meiner zu untersuchenen Reihe schließen, wenn ich noch zeige, dass konvergiert ? Denn eine Reihe die divergent ist , kann nicht konvergent sein. Wäre das dann das Vergleichskriterium ??? Wenn ja könnten Sie mir das Vergleichskriterium bitte nochmal kurz erläutern ? Danke |
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26.11.2017, 15:31 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das hat damit nichts zu tun. Vielmehr geht es um die folgenden elementaren Regeln. Ich schreibe sie einmal für Folgen auf: So findet man die Regeln in vielen Formelsammlungen. Und leider werden diese Regeln oft mißverstanden. Ich habe auch mit Absicht einmal die Voraussetzungen weggelassen, aber nicht, weil sie unwichtig wären, sondern gerade weil sie so wichtig sind. Und darum trage ich das jetzt nach: Man darf diese Regeln nicht wie Umformungsregeln der Algebra lesen. Vielmehr muß man sie "von rechts nach links" lesen. Es ist nämlich die Existenz der Grenzwerte auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens vorauszusetzen (um es mal nicht zu kompliziert zu machen: im Sinne von eigentlicher Konvergenz). Wenn also die Grenzwerte rechts existieren, dann existiert auch der Grenzwert links, und es gilt die angegebene Gleichheit. Im Fall der Division muß man noch voraussetzen, daß ist, und darf sich nicht daran stören, daß möglicherweise für ein paar Anfangsglieder der Quotient links nicht definiert ist. |
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26.11.2017, 15:33 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ist eine Leibniz-Reihe, damit ist deren Konvergenz geklärt.
Oh, nein, was denn jetzt noch - ich dachte das wäre jetzt endlich geklärt (zumindest hatte es oben den Anschein, dass du es kapiert hast). Bring deine Logik in Ordnung, ich hab keine Lust, das nochmal auseinanderzunehmen. |
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26.11.2017, 15:36 | Snexx_Math | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ok danke für den Einschub @Leopold Nun zu der Aufgabe: Warum muss ich denn jetzt zeigen dass b_n konvergiert ? Wir wissen jetzt ja, dass nicht eixstiert , diese Reihe ja divergiert. Es könnte ja auch sein, dass a_n konvergiert aber b_n divergiert. Oder liege ich da falsch ? |
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26.11.2017, 15:41 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Indirekter Beweis (Beweis durch Widerspruch) Annahme: konvergiert. Da nach dem Leibnizkriterium konvergiert, würde nach einem allgemeinen Grenzwertsatz auch konvergieren. Die harmonische Reihe ist aber bekanntermaßen divergent. Daher muß die Annahme falsch sein und das Gegenteil richtig. Also divergiert . |
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26.11.2017, 15:48 | Snexx_Math | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Tut mir leid, habe es jetzt doch verstanden. Da gegen divergiert, muss divergieren (gegen ) und konvergieren. Allerdings frage ich mich als aller Letztes noch: Warum konvergiert ? Denn ist ja und dies konvergiert, wenn eine monton fallende Nullfolge ist. Nullfolge ist dies , das ist klar, aber monoton fallend ist diese ja nicht . |
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26.11.2017, 15:49 | Snexx_Math | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Vielen Dank , das wäre dann ja die Kurzform und die Lösung, Danke auch an @HAL 9000 für die ganze Hilfe. Ich weiß, dass es anstrengend war, aber ich konnte es jetzt begreifen. LG Snexx_Math |
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26.11.2017, 16:08 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Diese Logik erschließt sich mir nicht. Warum "muß" gegen konvergieren? Und warum "muß" konvergieren? (Du meinst vermutlich die Reihen zu diesen Folgen.) Vermeide das Wort "müssen" in Beweisen. Das ist vom Deutschen her in jeder Hinsicht mißverständlich. Ich glaube, dir ist nicht klar, was hier vorausgesetzt und was behauptet wird. Wie man das richtig macht, habe ich dir in einem Musterbeweis vorgeführt.
Nein, war etwas anderes. |
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27.11.2017, 17:59 | Snexx_Math | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ok sehe ich auch gerade: Wir haben das Leibniskriterium wie folgt definiert: "Sei eine monoton fallende Nullfolge, dann konvergiert die alternierende Reihe " Inwiefern das Leibnizkriterium hier Anwendung findet und dies dann aussieht, ist mir (noch) ein Rätsel. Danke für jede weitere Antwort. |
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27.11.2017, 19:28 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ähem, es ist , wo ist da noch ein Problem? |
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28.11.2017, 07:19 | Snexx_Math | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Habs jetzt begriffen - meone Frage war warum die Folge konvergiert aber sehe gerade wie offensichtlich dies ist 😅 Danke an alle für jede Antwort ! LG Snexx_Math |
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